На какой высоте будет достигнут равенство между центростремительным и тангенциальным ускорением, когда камень брошен

Romanovich

61

Для решения этой задачи необходимо учесть, что центростремительное ускорение определяется формулой

\[a_{\text{цс}} = \frac{{v^2}}{R},\]

где \(a_{\text{цс}}\) - центростремительное ускорение, \(v\) - скорость камня, \(R\) - радиус кривизны траектории камня.

Тангенциальное ускорение можно выразить как \(a_{\text{т}} = \frac{{dv}}{{dt}}\), где \(a_{\text{т}}\) - тангенциальное ускорение, \(dv\) - приращение скорости, \(dt\) - приращение времени.

Вначале найдем приращение времени. Для этого воспользуемся горизонтальной составляющей скорости:

\(v_x = v \cdot \cos(\theta),\)

где \(v_x\) - горизонтальная составляющая скорости, \(\theta\) - угол, под которым брошен камень относительно горизонтали.

Подставляя данное значение в формулу для времени \(t\), получим:

\(t = \frac{{2v_x}}{g},\)

где \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим вертикальную составляющую движения камня. Она описывается уравнением движения:

\(h = v_y \cdot t - \frac{{g \cdot t^2}}{2},\)

где \(h\) - высота, на которой достигнется равенство между центростремительным и тангенциальным ускорением, \(v_y\) - вертикальная составляющая скорости.

Вертикальная составляющая скорости может быть найдена как:

\(v_y = v \cdot \sin(\theta).\)

Теперь мы можем записать уравнение для высоты:

\[h = v \cdot \sin(\theta) \cdot \left(\frac{{2v_x}}{g}\right) - \frac{{g \cdot \left(\frac{{2v_x}}{g}\right)^2}}{2}.\]

Подставляя значения, данного в условии задачи, \(v = 8 \, \text{м/с}\) и \(\theta = 60^\circ\), и учитывая, что \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\), получим:

\[h = 8 \cdot \sin(60^\circ) \cdot \left(\frac{{2 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)}}{9.8}\right) - \frac{{9.8 \cdot \left(\frac{{2 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)}}{9.8}\right)^2}}{2}.\]

Подсчитав эту формулу, мы можем найти высоту \(h\), на которой равны центростремительное и тангенциальное ускорения. Давайте выполним расчет и найдем ответ.