При расширении идеального одноатомного газа в политропном процессе, отношение совершенной работы к подведенной теплоте

Марина

63

Хорошо, рассмотрим задачу пошагово.

1. Начнем с определения политропного процесса. В политропном процессе отношение давления к объему, \(P\) и \(V\), связаны следующим образом: \(P \cdot V^n = константа\), где \(n\) - показатель политропы.

2. Задача говорит, что отношение совершенной работы \(W\) к подведенной теплоте \(Q\) равно \(a = 2,5\), то есть \(W/Q = a\).

3. Так как рассматривается идеальный одноатомный газ, мы можем использовать уравнение идеального газа: \(PV = nRT\), где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная и \(T\) - температура в Кельвинах.

4. Поскольку нас интересует молярная теплоемкость газа, давайте выразим объем через количество вещества и температуру в уравнении идеального газа: \(V = \frac{{nRT}}{P}\).

5. Далее, чтобы определить работу \(W\) и теплоту \(Q\), мы используем формулу для работы в политропном процессе: \(W = \frac{{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}}{{1-n}}\) и формулу для теплоты, полученной газом: \(Q = nC\Delta T\), где \(P_1\) и \(P_2\) - начальное и конечное давление соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объемы, \(n\) - количество вещества, \(C\) - молярная теплоемкость газа и \(\Delta T\) - изменение температуры.

6. Теперь мы можем записать соотношение между совершенной работой и подведенной теплотой: \(a = \frac{{W}}{{Q}} = \frac{{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}}{{nC\Delta T}}\).

7. Подставив выражение для \(V\) из уравнения идеального газа в формулу работы \(W\), получим: \(a = \frac{{P_2 \cdot (\frac{{nRT_2}}{{P_2}}) - P_1 \cdot (\frac{{nRT_1}}{{P_1}})}}{{nC\Delta T}}\).

8. Упростим это выражение, сократив общие члены и получим: \(a = \frac{{nR(T_2 - T_1)}}{{nC\Delta T}}\).

9. После сокращения количества вещества, получим окончательную формулу: \(a = \frac{{R(T_2 - T_1)}}{{C\Delta T}}\).

10. Теперь нам нужно определить молярную теплоемкость газа \(C\). Для этого из предыдущего выражения выразим \(C\): \(C = \frac{{R(T_2 - T_1)}}{{a\Delta T}}\).

11. Заменим данное значение для газовой постоянной \(R\) и значение для константы \(a\): \(C = \frac{{8,31 \cdot (T_2 - T_1)}}{{2,5\Delta T}}\).

Таким образом, расчетная формула для молярной теплоемкости газа \(C\) в политропном процессе будет следующей:

\[C = \frac{{8,31 \cdot (T_2 - T_1)}}{{2,5\Delta T}}\]

Где \(C\) - молярная теплоемкость газа, \(T_1\) и \(T_2\) - начальная и конечная температуры соответственно, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как определить молярную теплоемкость газа в политропном процессе. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.