На какую температуру остынет стакан с чаем, если его начальная температура равна 80 градусов, а в помещении

Радуга_На_Земле

24

Очень хорошо! Чтобы найти конечную температуру стакана с чаем, мы можем использовать закон охлаждения Ньютона. Этот закон гласит, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разнице между температурой тела и окружающей среды. Формула для этого закона выглядит так:

\[\frac{d T}{d t} = -k(T - T_{\text{окр}})\]

где:
\(T\) - температура стакана с чаем в определенный момент времени,
\(t\) - время,
\(T_{\text{окр}}\) - температура окружающей среды,
\(k\) - коэффициент, который зависит от свойств материала стакана и его формы.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти решение этого дифференциального уравнения с начальным условием, где \(T = 80\) при \(t = 0\).

Итак, давайте произведем несколько шагов для решения этого уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение уравнения.

Для этого уравнения общее решение имеет вид:

\[T(t) = C e^{-kt} + T_{\text{окр}}\]

где \(C\) - произвольная постоянная, которую нужно определить с помощью начального условия.

Шаг 2: Подставим начальное условие.

Используя начальное условие \(T(0) = 80\), мы получаем:

\[80 = C e^{-k \cdot 0} + T_{\text{окр}}\]
\[C + T_{\text{окр}} = 80\]

Шаг 3: Найдем значение постоянной \(C\).

Выразив \(C\) из уравнения \(C + T_{\text{окр}} = 80\), мы получаем:

\[C = 80 - T_{\text{окр}}\]

Шаг 4: Подставим найденное значение \(C\) в общее решение.

Подставляя найденное значение \(C\) в общее решение, мы получим:

\[T(t) = (80 - T_{\text{окр}}) e^{-kt} + T_{\text{окр}}\]

Таким образом, это является ответом на задачу. Температура стакана с чаем будет остывать с течением времени в соответствии с этой формулой. Для определенных значений \(T_{\text{окр}}\) (температура окружающей среды) и \(k\) (коэффициент охлаждения, зависящий от материала стакана и его формы), мы можем найти конкретное численное значение температуры стакана с чаем в любом определенном моменте времени.