На картине показаны график функции y = f(x) и ее касательная в точке с координатой x0. Определите производную функции

Пугающий_Динозавр

67

Для определения производной функции \(f(x)\) в точке \((x_0, y_0)\) мы можем использовать определение производной как предел приращения функции, когда \(x\) стремится к \(x_0\).

Пусть \(f(x)\) - это функция, а ее производная обозначена как \(f"(x)\).

Используя формулу производной, которая является пределом отношения изменения функции к изменению аргумента в пределе, мы можем записать:

\[f"(x_0) = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{f(x) - f(x_0)}}{{x - x_0}}\]

В данном случае, мы знаем, что касательная графика функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0, y_0)\) является касательной в этой точке, что означает, что она касается графика функции в этой точке и имеет одинаковый наклон. Наклон этой касательной будет равен значению производной функции \(f(x)\) в этой точке.

Таким образом, чтобы найти производную функции \(f(x)\) в точке \((x_0, y_0)\), нам необходимо определить наклон касательной к графику функции в этой точке.

Исходя из этой информации, мы можем использовать тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке \((x_0, y_0)\) для определения производной функции \(f(x)\) в этой точке. То есть:

\[f"(x_0) = \tan(\alpha)\]

где \(\alpha\) - угол наклона касательной.

Зная уравнение касательной, мы можем определить этот угол наклона и, следовательно, производную функции \(f(x)\) в точке \((x_0, y_0)\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти производную функции \(f(x)\) в заданной точке. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или если я могу еще чем-то помочь, пожалуйста, сообщите!