На отрезке AB выбрана точка D, при условии, что AD=9 и DB=32 (рисунок 103). Строится окружность с центром в точке
На отрезке AB выбрана точка D, при условии, что AD=9 и DB=32 (рисунок 103). Строится окружность с центром в точке A, проходящая через D. Из точки B проводится касательная BK к данной окружности. Необходимо найти длину отрезка BK, при условии, что K - точка касания. Просьба решить задачу.
Папоротник 11
Для решения данной задачи мы можем использовать свойство ортогональности касательных и радиусов окружности.По условию задачи, на отрезке AB выбрана точка D, причем AD = 9 и DB = 32. Построим это на рисунке:
A B
|---------------------|
9 32
<-----D----->
Также известно, что строится окружность с центром в точке A, проходящая через D.
Построим окружность:
A ● B
|\
| \
| ● D
|
|
Из точки B проводится касательная BK к данной окружности. Нужно найти длину отрезка BK, при условии, что K - точка касания.
Решение:
Для начала построим радиусы AO и DO (O - центр окружности):
A ● B
|\
| \
| \
| ● O
| |
| |
D ●
Так как OA - радиус окружности, а OD - радиус окружности и сторона прямоугольного треугольника AOD, то:
AO = OD = радиус окружности
Теперь рассмотрим треугольник AOK. Он прямоугольный, так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Так как АО и OК - радиусы окружности, то треугольник AOK прямоугольный.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOK получаем:
AK^2 + OK^2 = AO^2
Заметим, что OK = OD, так как это радиус окружности, и AK = AD, так как это сторона прямоугольного треугольника. Подставим значения:
AK^2 + OD^2 = AO^2
AK^2 + 32^2 = AO^2
AK^2 + 1024 = AO^2
Теперь рассмотрим треугольник BOK. Он также прямоугольный, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу.
В треугольнике BOK мы хотим найти длину отрезка BK, который равен разности BO и OK:
BK = BO - OK
Но мы можем заметить, что BO = BA, так как это радиус окружности, а BA равно AD + DB:
BA = AD + DB = 9 + 32 = 41
Подставим это значение:
BK = 41 - OK
Таким образом, задача сводится к нахождению значения OK. Для этого нам нужно найти значение радиуса AO.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOD получаем:
AO^2 = AD^2 + OD^2
AO^2 = 9^2 + 32^2
AO^2 = 81 + 1024
AO^2 = 1105
Так как AO - радиус окружности, то AO = √1105
Теперь мы можем найти значение OK:
AK^2 + OD^2 = AO^2
AK^2 + 32^2 = 1105
AK^2 + 1024 = 1105
AK^2 = 1105 - 1024
AK^2 = 81
AK = √81
AK = 9
Теперь подставим это значение в выражение для BK:
BK = 41 - OK
BK = 41 - OD
BK = 41 - 32
BK = 9
Таким образом, длина отрезка BK равна 9.
Ответ: длина отрезка BK равна 9.