На отрезке, найдите наименьшее значение функции y=2x+512

Тигрёнок

49

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Функция, данная в задаче, имеет вид y = 2x + 512/x + 8. Чтобы найти наименьшее значение этой функции на заданном отрезке, нам нужно произвести анализ функции и найти точку, в которой она достигает своего минимума.

Давайте начнем с анализа производной функции. Производная функции позволит нам определить, в каких точках функция имеет возрастание и убывание.

Производная функции y = 2x + 512/x + 8 может быть найдена с помощью правила дифференцирования суммы, разности и произведения функций. Давайте посчитаем ее:

y" = (2 - 512/x^2)

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не определена. Производная не определена только тогда, когда x = 0, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю.

Теперь рассмотрим, когда производная равна нулю:

2 - 512/x^2 = 0

Перенесем 2 на другую сторону уравнения:

-512/x^2 = -2

Разделим обе части уравнения на -2:

256/x^2 = 1

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(x^2)/256 = 1

Умножим обе части уравнения на 256:

x^2 = 256

Возьмем квадратный корень из обеих сторон:

x = ± √256

Итак, получили две возможные точки, в которых производная равна нулю: x = 16 и x = -16.

Теперь проверим значения функции в этих точках и найдем наименьшее значение:

y(16) = 2*16 + 512/16 + 8 = 32 + 32 + 8 = 72

y(-16) = 2*(-16) + 512/(-16) + 8 = -32 - 32 + 8 = -56

Таким образом, наименьшее значение функции равно -56 и достигается при x = -16.

Итак, наименьшее значение функции y = 2x + 512/x + 8 на заданном отрезке равно -56 и достигается при x = -16.