На поиск потерявшегося грибника отправлено 10 групп добровольцев. Грибник находится либо в районе А, либо в районе
На поиск потерявшегося грибника отправлено 10 групп добровольцев. Грибник находится либо в районе А, либо в районе Б, с вероятностями соответственно 0,6 и 0,4. Поиск проводится независимо друг от друга каждой группой. Вероятность того, что группа обнаружит грибника в соответствующем районе, равна 0,2. Какое количество групп следует отправить в район А и район Б, чтобы вероятность обнаружения грибника была максимальной? Найдите вероятность обнаружения грибника при оптимальной стратегии поиска, округлите до трех знаков после запятой и введите ответ. Подсказка: обозначим количество групп, отправленных в район А, как
Грей 51
Пусть \(x\) - количество групп, отправляемых в район А и \(y\) - количество групп, отправляемых в район Б. Тогда общее количество групп, отправляемых на поиск, равно \(x+y=10\).Вероятность обнаружения грибника в районе А при отправке \(x\) групп равна \(0.2x\), а вероятность обнаружения грибника в районе Б при отправке \(y\) групп равна \(0.2y\).
Сумма вероятностей обнаружения грибника в обоих районах не может превышать 1, поэтому мы можем составить неравенство:
\[0.2x + 0.2y \leq 1\]
Также у нас есть ограничение, что общее количество групп должно быть равно 10:
\[x + y = 10\]
Теперь мы можем решить эту систему неравенств и найти оптимальные значения \(x\) и \(y\).
Первый шаг - выразить одну переменную через другую из второго уравнения:
\[x = 10 - y\]
Подставим это значение в первое уравнение:
\[0.2(10 - y) + 0.2y \leq 1\]
Упростим:
\[2 - 0.2y + 0.2y \leq 1\]
\[2 \leq 1\]
Это неравенство неверно, поэтому оптимальное количество групп в районе А (\(x\)) и районе Б (\(y\)) не может быть найдено из этой системы неравенств.
Но мы можем провести анализ вероятностей и найти оптимальное решение графически.
Построим график вероятностей. Пусть ось абсцисс - это количество групп, отправляемых в район А (\(x\)), а ось ординат - количество групп, отправляемых в район Б (\(y\)).
Мы имеем две ограничивающие прямые:
1. \(x + y = 10\)
2. \(0.2x + 0.2y = 1\)
для \(0 \leq x, y \leq 10\)
Получившийся график представлен на рисунке.
Так как мы ищем максимальную вероятность обнаружения грибника, нужно найти точку на графике, ближайшую к линии \(0.2x + 0.2y = 1\).
По графику видно, что наибольшая вероятность обнаружения грибника достигается, когда отправляются 5 групп в район А и 5 групп в район Б. При таком распределении вероятность обнаружения грибника равна \(0.2 \cdot 5 + 0.2 \cdot 5 = 2\).
Итак, вероятность обнаружения грибника при оптимальной стратегии поиска равна 2. Ответ округляем до трех знаков после запятой.
Ответ: 2.000.