Найдите время t2 и частоту v2 свободных электромагнитных колебаний в контуре, если мы переключаем ключ K из положения

Вулкан

17

Чтобы найти время \(t_2\) и частоту \(v_2\) свободных электромагнитных колебаний в контуре при переключении ключа K из положения 1 в положение 2, нам понадобятся некоторые предварительные сведения о контуре.

Переключение ключа K приведет к изменению режима работы контура. Пусть наш контур представляет собой RLC-контур, состоящий из сопротивления \(R\), индуктивности \(L\) и ёмкости \(C\).

Когда ключ в положении 1, контур находится в режиме заряда конденсатора, а когда ключ переключается в положение 2, контур будет находиться в режиме свободных колебаний.

Предположим, что перед переключением ключа, заряд \(Q\) на конденсаторе и ток \(I\) в контуре равны \(Q_1\) и \(I_1\) соответственно, а после переключения заряд и ток станут равны \(Q_2\) и \(I_2\).

Чтобы найти \(t_2\) и \(v_2\), мы можем использовать законы сохранения энергии и заряда в контуре.

Во-первых, в начальный момент времени заряд на конденсаторе равен:

\[Q_1 = C \cdot V_1,\]

где \(V_1\) - начальное напряжение на конденсаторе.

После переключения ключа 2, заряд на конденсаторе станет равным:

\[Q_2 = C \cdot V_2,\]

где \(V_2\) - напряжение на конденсаторе после переключения ключа.

Заряд на конденсаторе изменяется за счет тока в контуре. Ток в контуре можно выразить как производную заряда по времени:

\[I = \frac{{dQ}}{{dt}}.\]

Используя это соотношение, мы можем записать:

\[I_2 = \frac{{dQ_2}}{{dt}} = C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}}.\]

Однако, в режиме свободных колебаний, сила тока в контуре состоит из суммы компонентов - тока, прошедшего через сопротивление, индуктивности и ёмкости:

\[I_2 = I_R + I_L + I_C,\]

где \(I_R\) - ток через сопротивление, \(I_L\) - ток через индуктивность и \(I_C\) - ток, прошедший через конденсатор.

Ток через сопротивление можно записать, используя закон Ома: \(I_R = \frac{{V_2}}{{R}}\).

Ток через индуктивность можно записать, используя закон индукции: \(I_L = L \cdot \frac{{dI_2}}{{dt}}\).

Ток через конденсатор можно записать, используя связь между зарядом и напряжением на конденсаторе: \(I_C = C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}}\).

Подставляя эти соотношения в уравнение \(I_2 = I_R + I_L + I_C\), получим:

\[C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}} = \frac{{V_2}}{{R}} + L \cdot \frac{{dI_2}}{{dt}} + C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}}.\]

Учитывая, что \(I_2 = C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}}\), можем сократить это выражение до:

\[C \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}} = \frac{{V_2}}{{R}} + L \cdot \frac{{dI_2}}{{dt}} + I_2.\]

Продифференцируем это уравнение по времени и решим полученное уравнение для \(V_2\):

\[C \cdot \frac{{d^2V_2}}{{dt^2}} = \frac{{dV_2}}{{dt}} - \frac{{V_2}}{{RC}} - \frac{{L}}{{C}} \cdot \frac{{d^2V_2}}{{dt^2}}.\]

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены, получаем:

\[\left(1 + \frac{{L}}{{CR}}\right) \cdot \frac{{d^2V_2}}{{dt^2}} + \frac{{1}}{{CR}} \cdot \frac{{dV_2}}{{dt}} + \frac{{1}}{{LC}} \cdot V_2 = 0.\]

Это дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее свободные колебания в RLC-контурах.

Решением данного уравнения будет функция, которая описывает изменение напряжения на конденсаторе с течением времени. Точное решение этого уравнения зависит от начальных условий и параметров контура.

Таким образом, чтобы найти \(t_2\) и \(v_2\), необходимо решить данное дифференциальное уравнение второго порядка с учетом начальных условий и параметров контура. Данное уравнение может быть решено численными методами или аналитически, если заданы конкретные значения сопротивления \(R\), индуктивности \(L\) и ёмкости \(C\), а также начальные значения \(Q_1\) и \(I_1\).

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, как найти время \(t_2\) и частоту \(v_2\) свободных электромагнитных колебаний в контуре. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужно помощь в решении конкретного примера, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться!