На сколько раз будут различаться радиусы кривизны r траектории в начале и в конце пути, если заряженная частица

Druzhische

17

Для решения этой задачи нам понадобятся основные соотношения в магнитостатике.

Пусть частица массой \(m\) и зарядом \(q\) перпендикулярно влетает в однородное магнитное поле с индукцией \(B\) со скоростью \(v\) под углом \(\theta\) к направлению поля. При движении в магнитном поле сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, равна:

\[F = qvB\sin\theta\]

Сила Лоренца является центростремительной силой, создающей центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение может быть записано как:

\[a = \frac{v^2}{r}\]

где \(r\) - радиус кривизны траектории частицы.

Можем приравнять силу Лоренца и центростремительное ускорение, чтобы найти радиус кривизны:

\[qvB\sin\theta = \frac{mv^2}{r}\]

Из этого уравнения можно выразить радиус кривизны \(r\):

\[r = \frac{mv}{qB\sin\theta}\]

Также из условия задачи известно, что частица в результате взаимодействия с веществом потеряла половину своей начальной энергии. Энергия частицы в магнитном поле может быть записана как:

\[E = \frac{1}{2}mv^2\]

После взаимодействия энергия стала равной \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2\).

Находим начальную скорость \(v\) из этого уравнения:

\[\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2\]

Получаем:

\[\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2\]

где \(v_0\) - начальная скорость частицы.

Из этого уравнения можно найти начальную скорость \(v_0\):

\[v_0 = \sqrt{2} v\]

Теперь, используя начальную скорость, можем выразить радиус кривизны траектории \(r_0\) в начале пути:

\[r_0 = \frac{mv_0}{qB\sin\theta}\]

Подставляем выражение для начальной скорости:

\[r_0 = \frac{m\sqrt{2}v}{qB\sin\theta}\]

Аналогично, находим конечную скорость \(v_1\) после взаимодействия:

\[v_1 = \sqrt{2} \cdot \frac{v}{2}\]

Теперь можем выразить радиус кривизны траектории \(r_1\) в конце пути:

\[r_1 = \frac{mv_1}{qB\sin\theta}\]

Подставляем выражение для конечной скорости:

\[r_1 = \frac{m\sqrt{2}v/2}{qB\sin\theta}\]

Таким образом, радиусы кривизны траектории \(r_0\) в начале пути и \(r_1\) в конце пути будут различаться в \(\frac{r_0}{r_1} = \frac{2\sqrt{2}v}{v}\), то есть в \(\sqrt{2}\) раза.

Таким образом, радиусы кривизны траектории различаются на коэффициент \(\sqrt{2}\).