На сколько способов можно распределить личные места, занятые участниками этой команды из пяти человек, в соревнованиях

Маня

55

Это задача на комбинаторику, и чтобы решить ее, мы можем применить принцип умножения. По сути, нам нужно определить, сколько всего способов можно выбрать 5 мест из 25 (пятеро участников из двадцати пяти), учитывая, что порядок выбранных мест имеет значение.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для сочетаний (или числа сочетаний). Число сочетаний обозначается как \(\binom{n}{k}\) и равно количеству способов выбрать \(k\) различных элементов из множества из \(n\) элементов.

Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(n!\) (читается как "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашей задаче у нас есть \(n = 25\) спортсменов, из которых мы выбираем \(k = 5\) участников для занятия личных мест. Подставляя значения в формулу числа сочетаний, мы получаем:
\[\binom{25}{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!}\]

Теперь давайте рассчитаем это значение:

\(\binom{25}{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!}\)
\(= \frac{25!}{5! \cdot 20!}\)

Так как нам нужен подробный ответ, давайте посчитаем это значение. Чтобы упростить расчет, давайте представим \(25!\) в виде произведения натуральных чисел:

\(25! = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Аналогично, представим \(5!\) и \(20!\) в виде произведения:

\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)
\(20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Теперь мы можем заменить числа в формуле числа сочетаний и упростить выражение:

\(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}\)

Замечательно, многие числа сокращаются:

\(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Теперь давайте упростим это выражение:

\(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5!}\)

Сокращаем также \(5!\):

\(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Теперь можем вычислить это значение:

\(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5,525,184\)

Таким образом, количество способов распределить личные места для этой команды из пяти участников в соревнованиях по плаванию, где участвуют еще двадцать спортсменов, равно 5,525,184 способам.