На сколько увеличится ускорение свободного падения на поверхности Луны, если радиус Луны уменьшится в 1,2 раза

Aleksandrovna_1881

22

Для решения данной задачи нам понадобится воспользоваться законом всемирного тяготения, который устанавливает зависимость между массами двух тел, расстоянием между ними и силой притяжения между ними.

Сила притяжения между двумя телами определяется по формуле:

\[F = G \cdot \dfrac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\],

где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между телами.

В данной задаче мы рассматриваем изменение ускорения свободного падения на поверхности Луны при изменении ее радиуса. Ускорение свободного падения равно отношению силы притяжения между Луной и телом к массе этого тела:

\[a = \dfrac{F}{m_{\text{тела}}}\].

Для решения задачи нам нужно найти отношение нового ускорения свободного падения \(a_{\text{новое}}\) к прежнему ускорению свободного падения \(a_{\text{прежнее}}\), когда радиус Луны уменьшается в 1,2 раза.

Изначально дано, что \(a_{\text{прежнее}} = 1,6 \, \text{м/с²}\).

Рассмотрим формулу для силы притяжения \(F\):

\[F = G \cdot \dfrac{{m_\text{Луны} \cdot m_{\text{тела}}}}{{r^2}}\].

При изменении радиуса Луны, нам будет интересно, какое будет новое расстояние \(r_{\text{новое}}\) между Луной и телом. Для этого мы воспользуемся отношением радиусов и остановимся на новом радиусе Луны \(r_{\text{новое}}\):

\[r_{\text{новое}} = r_{\text{прежнее}} \cdot \dfrac{1}{1,2}\].

Теперь можем записать формулу для новой силы притяжения \(F_{\text{новое}}\):

\[F_{\text{новое}} = G \cdot \dfrac{{m_{\text{Луны}} \cdot m_{\text{тела}}}}{{r_{\text{новое}}^2}} = G \cdot \dfrac{{m_{\text{Луны}} \cdot m_{\text{тела}}}}{{(r_{\text{прежнее}} \cdot \dfrac{1}{1,2})^2}}\].

Теперь можем найти новое ускорение свободного падения \(a_{\text{новое}}\):

\[a_{\text{новое}} = \dfrac{F_{\text{новое}}}{m_{\text{тела}}} = \dfrac{{G \cdot \dfrac{{m_{\text{Луны}} \cdot m_{\text{тела}}}}{{(r_{\text{прежнее}} \cdot \dfrac{1}{1,2})^2}}}}{{m_{\text{тела}}}}\].

В этой формуле масса тела \(m_{\text{тела}}\) сократится, и мы получим следующее:

\[a_{\text{новое}} = \dfrac{{G \cdot m_{\text{Луны}}}}{{r_{\text{прежнее}}^2 \cdot (\dfrac{1}{1,2})^2}}\].

Подставим изначально данное значение \(a_{\text{прежнее}} = 1,6 \, \text{м/с²}\) и найденное \(r_{\text{новое}} = r_{\text{прежнее}} \cdot \dfrac{1}{1,2}\) в эту формулу, чтобы получить ответ:

\[a_{\text{новое}} = \dfrac{{G \cdot m_{\text{Луны}}}}{{r_{\text{прежнее}}^2 \cdot (\dfrac{1}{1,2})^2}}\].