На якій висоті над землею стає вдвічі меншим прискорення вільного падіння, ніж на її поверхні?

Добрый_Лис

62

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон всемирного тяготения и формулу для расчета силы тяжести.

Закон всемирного тяготения гласит, что сила тяготения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула для расчета силы тяжести имеет вид:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где:
\(F\) - сила тяжести,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов,
\(r\) - расстояние между объектами.

В данной задаче речь идет о сравнении прискорений свободного падения, которые являются одними из проявлений гравитационной силы. Прискорение свободного падения на поверхности Земли принимается равным \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\).

Теперь нам нужно понять, при каком значении высоты над поверхностью Земли прискорение падения станет вдвое меньше, чем на поверхности.

Предположим, что на высоте \(h\) от поверхности Земли прискорение падения станет вдвое меньше. Обозначим это прискорение за \(g"\).

Теперь мы можем записать формулу для расчета прискорения падения на высоте \(h\):

\[g" = \frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}}\]

где:
\(M\) - масса Земли,
\(R\) - радиус Земли.

После этого мы можем записать уравнение, связывающее \(g\) и \(g"\):

\[g" = \frac{{g}}{{2}}\]

Подставляя выражения для \(g"\) и \(g\), получим:

\[\frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}} = \frac{{g}}{{2}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение для высоты \(h\). Для этого сначала умножим обе части уравнения на \((R + h)^2\):

\[G \cdot M = \frac{{g \cdot (R + h)^2}}{{2}}\]

Затем разрешим уравнение относительно \(h\):

\[h^2 + 2Rh + R^2 - \frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{g}} = 0\]

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[h_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

где:
\(a = 1\),
\(b = 2R\),
\(c = R^2 - \frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{g}}\).

Подставив значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу, мы получим два возможных значения \(h\) - одно положительное и одно отрицательное. Отрицательное значение не имеет физического смысла в данной задаче, поэтому мы будем рассматривать только положительное значение высоты \(h\):

\[h = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Произвести вычисления: