На якій з точок A(6;3;0), B(0;7;-6) або C(-8;0;9) лежить координатна площина?

Сладкая_Сирень

21

Для того чтобы определить, на какой из точек A(6;3;0), B(0;7;-6) или C(-8;0;9) лежит координатная плоскость, нам потребуется задать уравнение этой плоскости. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве записывается в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - коэффициенты плоскости.

Чтобы найти эти коэффициенты, мы можем воспользоваться точкой A(6;3;0) и нормалью плоскости, которая перпендикулярна самой плоскости. Нормаль можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Например, возьмем два вектора, идущих из A до B и из A до C, и найдем их векторное произведение:

\[
\vec{AB} = \langle 0-6, 7-3, -6-0 \rangle = \langle -6, 4, -6 \rangle
\]
\[
\vec{AC} = \langle -8-6, 0-3, 9-0 \rangle = \langle -14, -3, 9 \rangle
\]
\[
\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-6 & 4 & -6 \\
-14 & -3 & 9 \\
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i} \begin{vmatrix} 4 & -6 \\ -3 & 9 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -6 & -6 \\ -14 & 9 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -6 & 4 \\ -14 & -3 \end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i} (4 \cdot 9 - (-6) \cdot (-3)) - \hat{j} ((-6) \cdot 9 - (-14) \cdot (-6)) + \hat{k} ((-6) \cdot (-3) - 4 \cdot (-14))
\]
\[
= \hat{i} (36 - 18) - \hat{j} (-54 - 84) + \hat{k} (18 + 56)
\]
\[
= \hat{i} \cdot 18 - \hat{j} \cdot (-138) + \hat{k} \cdot 74
\]
\[
= \langle 18, 138, 74 \rangle
\]

Теперь, когда мы нашли нормаль плоскости, можем подставить координаты точки A и нормали в уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) и найти коэффициент D:

\[
6 \cdot 18 + 3 \cdot 138 + 0 \cdot 74 + D = 0
\]
\[
108 + 414 + D = 0
\]
\[
D = -522
\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A(6;3;0), имеет вид:

\[
6x + 3y + 0z - 522 = 0
\]

Проверим, лежат ли точки B(0;7;-6) и C(-8;0;9) в данной плоскости:

Для точки B:
\[
6 \cdot 0 + 3 \cdot 7 + 0 \cdot (-6) - 522 = 21 - 522 = -501 \neq 0
\]

Точка B не удовлетворяет уравнению плоскости, следовательно, она не лежит на данной плоскости.

Для точки C:
\[
6 \cdot (-8) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 9 - 522 = -48 - 522 = -570 \neq 0
\]

Точка C также не удовлетворяет уравнению плоскости и, следовательно, не лежит на данной плоскости.

Итак, из рассмотренных точек только точка A(6;3;0) лежит на указанной координатной плоскости.