На заданном интервале (-3π/2; 3π/2), сколько корней имеет уравнение tgx = 1/(√3 - 2

Volshebnik_8065

26

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти значение угла \( x \), при котором выполняется уравнение \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \). Итак, давайте начнем.

Дано уравнение: \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \)

Чтобы найти \( x \), сначала упростим дробь в правой части уравнения.

Дробь \( \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \) можно умножить на сопряженное значение с корнем, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 2^2} \]
\[ = \frac{\sqrt{3} + 2}{-1} = -(\sqrt{3} + 2) = -\sqrt{3} - 2 \]

Теперь получим новое уравнение: \( \tan x = -\sqrt{3} - 2 \)

Мы знаем, что \(\tan x\) - это тангенс угла \( x \). Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Мы видим, что тангенс \( -\sqrt{3} - 2 \) отрицательный. Вспомним, что для отрицательного значения тангенса угол \( x \) должен лежать в третьей или четвертой четверти.

Теперь давайте изучим интервал (-3π/2; 3π/2).

Угол \( x \) лежит в этом интервале, поэтому мы можем использовать его.

В третьей четверти углы с тангенсом \( -\sqrt{3} - 2 \) будут иметь значения, находящиеся между \( -\pi \) и \( -2\pi/3 \).

В четвертой четверти углы с таким тангенсом будут иметь значения между \( 2\pi/3 \) и \( \pi \).

Таким образом, на интервале (-3π/2; 3π/2) уравнение \( \tan x = -\sqrt{3} - 2 \) имеет два корня: один в третьей четверти и один в четвертой четверти.

Просим обратить внимание на то, что также можно использовать график функции \( \tan x \), чтобы подтвердить наше решение и определить, сколько раз функция пересекает горизонтальную линию на уровне \( -\sqrt{3} - 2 \).

Надеемся, что это решение понятно и полезно, и поможет вам понять, как определить количество корней уравнения \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \) на заданном интервале.