Напишите альтернативное выражение, имеющее то же самое значение, что и 7^n + 13^n

Магический_Вихрь

64

Прекрасно! Чтобы привести альтернативное выражение с таким же значением, как \(7^n + 13^n\), можем использовать свойство бинома Ньютона. Это свойство помогает разложить сумму степеней двух чисел.

Используя это свойство, можем представить исходное выражение следующим образом:

\[7^n + 13^n = (7 + 13) \cdot \left(\binom{n}{0} \cdot 7^{n-0} \cdot 13^0 + \binom{n}{1} \cdot 7^{n-1} \cdot 13^1 + \binom{n}{2} \cdot 7^{n-2} \cdot 13^2 + ... + \binom{n}{n-1} \cdot 7^1 \cdot 13^{n-1} + \binom{n}{n} \cdot 7^0 \cdot 13^n\right)\]

Здесь \(\binom{n}{k}\) - это биномиальный коэффициент, который сочетает n элементов по k элементов. Важно отметить, что мы начали с n-0, чтобы получить степень 7^n, и закончили с n, чтобы получить степень 13^n.

Теперь, если вы хотите альтернативное выражение, то мы можем выделить общий множитель в каждом слагаемом:

\[7^n + 13^n = 20 \cdot \left(\binom{n}{0} \cdot 7^{n-0} \cdot 13^0 + \binom{n}{1} \cdot 7^{n-1} \cdot 13^1 + \binom{n}{2} \cdot 7^{n-2} \cdot 13^2 + ... + \binom{n}{n-1} \cdot 7^1 \cdot 13^{n-1} + \binom{n}{n} \cdot 7^0 \cdot 13^n\right)\]

Таким образом, мы получили альтернативное выражение для \(7^n + 13^n\), которое равно \(20 \cdot \left(\binom{n}{0} \cdot 7^{n-0} \cdot 13^0 + \binom{n}{1} \cdot 7^{n-1} \cdot 13^1 + \binom{n}{2} \cdot 7^{n-2} \cdot 13^2 + ... + \binom{n}{n-1} \cdot 7^1 \cdot 13^{n-1} + \binom{n}{n} \cdot 7^0 \cdot 13^n\right)\).

Это выражение имеет то же значение, что и исходное выражение \(7^n + 13^n\).