Напишите многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, у которого корни a1=2 a2=3-i имеют кратность

Aida

2

Чтобы найти многочлен наименьшей степени с такими корнями, мы можем использовать их кратности и представить многочлен как произведение линейных множителей, соответствующих корням, возведенных в соответствующие кратности.

Для корня a1=2 с кратностью второго порядка, мы можем представить его в виде \((x-2)^2\), где \(x\) - переменная.

Для корня a2=3-i с кратностью второго порядка, мы можем представить его в виде \((x-(3-i))^2\). Но поскольку мы хотим, чтобы многочлен имел действительные коэффициенты, мы также должны учесть комплексно сопряженный корень a2=3+i. Поэтому, для учета обоих комплексных корней, мы можем записать этот множитель в виде \((x-(3-i))(x-(3+i)) = (x-3+i)(x-3-i)\).

Аналогично, для корня a3=-i с кратностью второго порядка, мы можем представить его в виде \((x-(-i))^2 = (x+i)^2\).

Теперь мы можем записать многочлен, используя произведения этих линейных множителей:

\[P(x) = (x-2)^2 \cdot (x-3+i)(x-3-i) \cdot (x+i)^2\]

Распространяя умножение, мы можем развернуть это выражение:

\[P(x) = (x^2 - 4x + 4) \cdot ((x-3)^2 + 1) \cdot (x^2 + 2ix - i^2)\]

Так как \(i^2 = -1\), мы можем упростить это выражение:

\[P(x) = (x^2 - 4x + 4) \cdot ((x-3)^2 + 1) \cdot (x^2 + 2ix + 1)\]

Наконец, раскрывая скобки внутри каждого множителя, мы получаем:

\[P(x) = (x^2 - 4x + 4) \cdot (x^2 - 6x + 10) \cdot (x^2 + 2ix + 1)\]

Это многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, у которого все указанные корни имеют кратность второго порядка.