Напишите уравнение касательной и нормали к функции y=x^3-4x^2+8x+6 в данной точке

Primula

28

Хорошо, в данной задаче нам нужно найти уравнение касательной и нормали к функции \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\) в определенной точке. Для этого нам потребуются некоторые математические понятия.

Первым шагом мы найдем производную нашей функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной и нормали. Производная функции показывает, как функция меняется при изменении аргумента x. Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования для каждого члена функции.

Итак, найдем производную функции \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(x^3)}}{{dx}} - \frac{{d(4x^2)}}{{dx}} + \frac{{d(8x)}}{{dx}} + \frac{{d(6)}}{{dx}}
\]

Применяем правило дифференцирования:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 8x + 8
\]

Теперь, для нахождения уравнения касательной и нормали, нам нужно знать координаты точки, в которой хотим найти эти линии. Пусть данная точка имеет координаты \((a, b)\). Тогда угловые коэффициенты касательной и нормали равны \(m_t = f"(a)\) и \(m_n = -\frac{1}{m_t}\) соответственно.

Для нашей функции угловой коэффициент касательной можно найти, подставив значение \(a\) в \(\frac{{dy}}{{dx}}\):

\[
m_t = \frac{{dy}}{{dx}}\Bigr\rvert_{x=a}
\]

Теперь мы можем записать уравнение касательной и нормали.

Уравнение касательной выглядит следующим образом:

\[
y - b = m_t \cdot (x - a)
\]

подставим значение углового коэффициента \(m_t\), которое мы уже нашли:

\[
y - b = (3a^2 - 8a + 8) \cdot (x - a)
\]

Следовательно, уравнение касательной к \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\) в точке \((a, b)\) будет:

\[
y - b = (3a^2 - 8a + 8) \cdot (x - a)
\]

Далее, уравнение нормали имеет вид:

\[
y - b = m_n \cdot (x - a)
\]

подставим значение углового коэффициента \(m_n = -\frac{1}{m_t}\):

\[
y - b = -\frac{1}{{3a^2 - 8a + 8}} \cdot (x - a)
\]

Таким образом, уравнение нормали к \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\) в точке \((a, b)\) будет:

\[
y - b = -\frac{1}{{3a^2 - 8a + 8}} \cdot (x - a)
\]

Это уравнение задает касательную и нормаль к функции \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\) в точке \((a, b)\). Можно заметить, что эти уравнения зависят от выбора точки \((a, b)\).