Напишите уравнение касательной и нормали к функции y=x^3-4x^2+8x+6 в данной точке

  • 27
Напишите уравнение касательной и нормали к функции y=x^3-4x^2+8x+6 в данной точке.
Primula
28
Хорошо, в данной задаче нам нужно найти уравнение касательной и нормали к функции y=x34x2+8x+6 в определенной точке. Для этого нам потребуются некоторые математические понятия.

Первым шагом мы найдем производную нашей функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной и нормали. Производная функции показывает, как функция меняется при изменении аргумента x. Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования для каждого члена функции.

Итак, найдем производную функции y=x34x2+8x+6:

dydx=d(x3)dxd(4x2)dx+d(8x)dx+d(6)dx

Применяем правило дифференцирования:

dydx=3x28x+8

Теперь, для нахождения уравнения касательной и нормали, нам нужно знать координаты точки, в которой хотим найти эти линии. Пусть данная точка имеет координаты (a,b). Тогда угловые коэффициенты касательной и нормали равны mt=f"(a) и mn=1mt соответственно.

Для нашей функции угловой коэффициент касательной можно найти, подставив значение a в dydx:

mt=dydx|x=a

Теперь мы можем записать уравнение касательной и нормали.

Уравнение касательной выглядит следующим образом:

yb=mt(xa)

подставим значение углового коэффициента mt, которое мы уже нашли:

yb=(3a28a+8)(xa)

Следовательно, уравнение касательной к y=x34x2+8x+6 в точке (a,b) будет:

yb=(3a28a+8)(xa)

Далее, уравнение нормали имеет вид:

yb=mn(xa)

подставим значение углового коэффициента mn=1mt:

yb=13a28a+8(xa)

Таким образом, уравнение нормали к y=x34x2+8x+6 в точке (a,b) будет:

yb=13a28a+8(xa)

Это уравнение задает касательную и нормаль к функции y=x34x2+8x+6 в точке (a,b). Можно заметить, что эти уравнения зависят от выбора точки (a,b).