Каково решение данного неравенства: 3/x^2+13x+40 ≥ 1/x^2+15x+56?

Angelina

31

Хорошо, чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти все значения x, при которых выполняется неравенство \(3/x^2+13x+40 \geq 1/x^2+15x+56\).

Давайте начнём с того, что приведём оба выражения к общему знаменателю. Умножим каждый член неравенства на \(x^2+15x+56\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[3(x^2+15x+56) \geq 1(x^2+15x+56)\]

Теперь раскроем скобки:

\[3x^2+45x+168 \geq x^2+15x+56\]

Сгруппируем все члены на одной стороне неравенства:

\[3x^2 - x^2 + 45x - 15x + 168 - 56 \geq 0\]

Упростим:

\[2x^2 + 30x + 112 \geq 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти решение неравенства, найдём сначала его график. Для этого построим график квадратного трёхчлена: \(2x^2 + 30x + 112\).

\[graph{2x^2+30x+112}\]

Видим, что график этой параболы направлен вверх. Теперь найдём места пересечения графика с осью x. Для этого решим уравнение \(2x^2 + 30x + 112 = 0\).

\[2x^2 + 30x + 112 = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[2(x^2 + 15x + 56) = 0\]

Раскроем скобки:

\[2(x + 7)(x + 8) = 0\]

Таким образом, получаем два значения x: -7 и -8. Эти значения являются корнями уравнения \(2x^2 + 30x + 112 = 0\) и точками пересечения с осью x на графике.

Теперь давайте разобьём интервалы между этими корнями, чтобы определить знак выражения \(2x^2 + 30x + 112\). Выберем тестовую точку из интервала между корнями, например, x = -9:

\[2(-9)^2 + 30(-9) + 112 = 162 - 270 + 112 = 4\]

Видим, что значение выражения положительное. Теперь выберем x > -7, например, x = 0:

\[2(0)^2 + 30(0) + 112 = 112\]

Опять видим, что значение выражения положительное. Таким образом, на интервале (-∞, -8) и на интервале (-7, +∞) данный квадратный трёхчлен принимает положительные значения.

Теперь мы можем составить ответ на задачу. Решением данного неравенства:

\[3/x^2+13x+40 \geq 1/x^2+15x+56\]

являются все значения x на интервале (-∞, -8] и на интервале [-7, +∞).