Напишите уравнение кривой, проходящей через точку M(2 -1) и имеющей касательную с коэффициентом наклона к=1/2y

Заблудший_Астронавт

56

Для написания уравнения кривой, проходящей через точку \(M(2, -1)\) и имеющей касательную с коэффициентом наклона \(k = \frac{1}{2}y\), нам потребуется использовать уравнение прямой.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид \(y = mx + c\), где \(m\) - коэффициент наклона прямой, а \(c\) - свободный член.

У нас уже известен коэффициент наклона \(k = \frac{1}{2}y\). Для того чтобы найти коэффициент наклона прямой, необходимо взять его производную по \(x\). Так как \(\frac{1}{2}y\) - это неявная функция от \(x\) и \(y\), то нужно использовать правило дифференцирования неявной функции.

Дифференцируя обе части уравнения по \(x\), получим:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\]

Так как мы знаем, что \(\frac{dy}{dx}\) представляет собой коэффициент наклона прямой, то получаем \(m = \frac{1}{2}\).

Теперь, чтобы найти свободный член \(c\), можно использовать точку \(M(2, -1)\). Подставим значения \(x = 2\) и \(y = -1\) в уравнение прямой:

\[-1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + c\]

Упростим это уравнение:

\[-1 = 1 + c\]

Перенесем \(1\) на другую сторону:

\[c = -1 - 1\]

\[c = -2\]

Таким образом, мы получили, что \(c = -2\).

Итак, уравнение кривой, проходящей через точку \(M(2, -1)\) и имеющей касательную с коэффициентом наклона \(k = \frac{1}{2}y\), будет выглядеть:

\[y = \frac{1}{2}x - 2\]

Это и есть искомое уравнение кривой.