Нарисуйте отрезок AC, имеющий длину 4 см. Проведите первую окружность с центром в точке А и радиусом 2 см, а затем

Радужный_Лист_1971

53

Хорошо, рассмотрим первую задачу. Для начала нарисуем отрезок AC длиной 4 см.

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}С
\end{array}
\]

Далее построим первую окружность с центром в точке A и радиусом 2 см. Чтобы построить такую окружность, нужно сделать следующее:

1. Воспользуйтесь циркулем и отложите из точки A расстояние, равное радиусу окружности \(r_1\), то есть 2 см. Получится так:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}
\end{array}
\]

2. Теперь поставьте конец циркуля в точку A и проведите дугу, пересекающую отрезок AC в точке B и отрезок АC в точке D. Нарисуйте дугу в любую сторону:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{B}{\bullet}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{D}{\bullet}С
\end{array}
\]

Точки B и D - это точки пересечения дуги с отрезком AC.

Теперь построим вторую окружность с центром в точке C и радиусом 3 см:

3. Вновь используя циркуль, нарисуйте в точке C дугу с радиусом \(r_2 = 3\) см:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{B}{\bullet}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{D}{\bullet}\stackrel{C}{\bullet}\stackrel{3\textrm{ см}}{\bigcirc}
\end{array}
\]

4. Обозначим точку пересечения этой дуги с отрезком AC как точку E:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{B}{\bullet}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{D}{\bullet}\stackrel{E}{\bullet}\stackrel{C}{\bullet}\stackrel{3\textrm{ см}}{\bigcirc}
\end{array}
\]

Теперь построим третью окружность с центром в точке C и радиусом 1 см:

5. Снова используя циркуль, нарисуйте в точке C дугу с радиусом \(r_3 = 1\) см:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{B}{\bullet}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{D}{\bullet}\stackrel{E}{\bullet}\stackrel{C}{\bullet}\stackrel{3\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{1\textrm{ см}}{\bigcirc}
\end{array}
\]

Точки пересечения этой дуги с отрезком AC обозначим как точки F и G:

\[
\begin{array}{l}
А\stackrel{4\textrm{ см}}{---}\stackrel{B}{\bullet}\stackrel{2\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{D}{\bullet}\stackrel{E}{\bullet}\stackrel{F}{\bullet}\stackrel{C}{\bullet}\stackrel{3\textrm{ см}}{\bigcirc}\stackrel{G}{\bullet}\stackrel{1\textrm{ см}}{\bigcirc}
\end{array}
\]

Теперь определим взаимное расположение этих окружностей:

- Окружность с радиусом 2 см (центр в точке A) пересекает отрезок AC в точках B и D.

- Окружность с радиусом 3 см (центр в точке C) пересекает отрезок AC в точке E, не касаясь окружности с радиусом 2 см.

- Окружность с радиусом 1 см (центр в точке C) пересекает отрезок AC в точках F и G, также не касаясь других окружностей.

Таким образом, окружности пересекаются в точках B, D, E, F и G, и никакие две окружности не касаются друг друга. Таким образом, взаимное расположение этих окружностей друг относительно друга - пересекающиеся, но не касающиеся.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Центры двух окружностей находятся на расстоянии 1,6 см друг от друга, а их радиусы составляют 3,2 и 2,4 см, соответственно.

Для того, чтобы окружности стали касаться друг друга, нужно задать их взаимное положение так, чтобы расстояние между центрами было равно сумме радиусов.

Пусть расстояние между центрами исходных окружностей равно \(d_0 = 1,6\) см, радиус первой окружности \(r_1 = 3,2\) см, а радиус второй окружности \(r_2 = 2,4\) см.

Тогда новое расстояние между центрами окружностей \(d_1\) при касании равно сумме их радиусов:

\[
d_1 = r_1 + r_2 = 3,2 + 2,4 = 5,6
\]

Чтобы узнать, во сколько раз нужно изменить расстояние между центрами, чтобы окружности стали касаться друг друга, нужно разделить \(d_0\) на \(d_1\):

\[
\frac{{d_0}}{{d_1}} = \frac{{1,6}}{{5,6}} \approx 0,28
\]

Таким образом, нужно уменьшить расстояние между центрами окружностей в \(0,28\) раза, чтобы они начали касаться друг друга.