До какой температуры необходимо охладить идеальный газ, взятый при температуре 450 К, чтобы его внутренняя энергия

Филипп

7

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать закон сохранения энергии и идеальный газовый закон. Закон сохранения энергии гласит, что изменение внутренней энергии системы равно работе, совершенной над системой, плюс тепло, переданное системе. В данном случае мы можем игнорировать работу, поскольку сосуд герметично закрыт, и не происходит обмена энергией с окружающей средой. Таким образом, изменение внутренней энергии будет равно количеству тепла, переданного системе.

Формула для изменения внутренней энергии (\(\Delta U\)) в идеальном газе можно выразить через изменение температуры (\(\Delta T\)) и теплоёмкость при постоянном объёме (\(C_v\)):

\[\Delta U = C_v \cdot \Delta T\]

Для идеального газа теплоёмкость при постоянном объёме является постоянной величиной. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[\frac{\Delta U_1}{\Delta T_1} = \frac{\Delta U_2}{\Delta T_2}\]

где \(\Delta U_1\) и \(\Delta T_1\) - изменение внутренней энергии и температура в начальном состоянии газа, а \(\Delta U_2\) и \(\Delta T_2\) - изменение внутренней энергии и температура в конечном состоянии.

Мы знаем, что внутренняя энергия должна уменьшиться втрое, поэтому:

\[\frac{\Delta U_2}{\Delta U_1} = \frac{1}{3}\]

Теперь мы можем подставить формулы для изменения внутренней энергии и получить:

\[\frac{C_v \cdot \Delta T_2}{C_v \cdot \Delta T_1} = \frac{1}{3}\]

Теплоёмкость при постоянном объёме, \(C_v\), также можно выразить через универсальную газовую постоянную (\(R\)):

\[C_v = \frac{f}{2} \cdot R\]

где \(f\) - количество степеней свободы газа. Для одноатомного идеального газа \(f = 3\), а для двуатомного газа \(f = 5\). В данной задаче мы не указано, о каком типе газа идёт речь, поэтому будем считать, что это двуатомный газ со значением \(f = 5\).

Теперь, зная эти формулы, мы можем решить задачу. Подставим значения и найдём \(\Delta T_2\):

\[\frac{\frac{5}{2} \cdot R \cdot \Delta T_2}{\frac{5}{2} \cdot R \cdot \Delta T_1} = \frac{1}{3}\]

Сокращая общие множители и переставляя части уравнения, мы получаем:

\[\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1} = \frac{1}{3}\]

Теперь мы можем выразить \(\Delta T_2\) через \(\Delta T_1\):

\[\Delta T_2 = \frac{1}{3} \cdot \Delta T_1\]

Температура газа изначально равна 450 К, поэтому \(\Delta T_1 = 450\). Подставим эту величину и найдём значение \(\Delta T_2\):

\[\Delta T_2 = \frac{1}{3} \cdot 450\]

\[\Delta T_2 = 150\]

Таким образом, необходимо охладить идеальный газ до 150 К, чтобы его внутренняя энергия уменьшилась втрое в герметично закрытом сосуде.