Найди длину меньшей стороны и площадь прямоугольника с заданными параметрами: большая сторона равна 19,5 см, диагональ

Ветерок

54

Хорошо, давайте решим данную задачу поэтапно. Для начала, нам даны несколько параметров прямоугольника: большая сторона равна 19,5 см, диагональ равна 13√3 см и образует угол 60 градусов с меньшей стороной. Нам нужно найти длину меньшей стороны и площадь прямоугольника.

Шаг 1: Найдем длину меньшей стороны.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенузой является диагональ прямоугольника, то есть 13√3 см, а одним из катетов является меньшая сторона. Обозначим длину меньшей стороны как \(x\).

Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[x^2 + (19.5)^2 = (13\sqrt{3})^2\]

Возводя в квадрат \(13\sqrt{3}\), получим:
\[x^2 + 19.5^2 = 13^2 \cdot 3\]

Решаем данное уравнение:
\[x^2 + 380.25 = 169 \cdot 3\]

Вычитаем 507.75 из обеих сторон уравнения:
\[x^2 = 507.75 - 380.25\]
\[x^2 = 127.5\]

Извлекаем квадратный корень:
\[x = \sqrt{127.5}\]

Ответом будет длина меньшей стороны равная \(\sqrt{127.5}\) см. Приблизительное значение этого корня составляет около 11.31 см.

Шаг 2: Найдем площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника находится по формуле: \(S = d \cdot w\), где \(d\) - длина, а \(w\) - ширина прямоугольника. Мы уже нашли длину, поэтому нам остается найти ширину.

Обратимся к геометрии прямоугольника. Так как диагональ равна 13√3 см и образует угол 60 градусов с меньшей стороной, то получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13√3 см и углом 60 градусов между гипотенузой и меньшей стороной. Тогда ширина прямоугольника будет являться одним из катетов этого треугольника. Обозначим ширину как \(w\).

Используем тригонометрические соотношения для нахождения этой стороны прямоугольника. Так как у нас угол 60 градусов и \(w\) является катетом, то используем соотношение тангенса:
\(\tan(60^\circ) = \frac{w}{x}\)

Заменяем \(w\) на \(x \cdot \tan(60^\circ)\):
\(w = x \cdot \tan(60^\circ)\)

Далее, подставляем значение \(x = \sqrt{127.5}\) и вычисляем:
\(w = \sqrt{127.5} \cdot \tan(60^\circ)\)

Вычислим эту формулу и получим около 21.99 см.

Теперь, когда у нас есть значение длины и ширины, мы можем найти площадь прямоугольника:
\[S = \sqrt{127.5} \cdot 21.99\]

Вычислим это выражение и получим около 281.38 см².

Таким образом, ответом на задачу является: длина меньшей стороны равна \(\sqrt{127.5}\) см, а площадь прямоугольника равна около 281.38 см².