Найди интервалы, на которых производная (f (x)) больше 1 для функции aresin 7x. Ответ представь в виде интервала

Sergey

59

Хорошо, чтобы найти интервалы, на которых производная второго порядка \(f""(x)\) больше 1 для функции \(f(x) = \arcsin(7x)\), мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите первую производную \(f"(x)\) функции \(f(x) = \arcsin(7x)\).
Шаг 2: Найдите вторую производную \(f""(x)\), используя полученную первую производную.
Шаг 3: Решите неравенство \(f""(x) > 1\) для \(x\), чтобы найти интервалы, на которых \(f""(x)\) больше 1.

Давайте выполним эти шаги

Шаг 1: Найдите первую производную \(f"(x)\):

Функция \(f(x) = \arcsin(7x)\) является композицией функций. Для ее дифференцирования мы будем использовать цепное правило (chain rule):

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\left(\arcsin(7x)\right) &= \frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}(7x)\right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{1-(7x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(7x) \\
&= \frac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}
\end{align*}
\]

Таким образом, первая производная \(f"(x)\) равна \(\frac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}\).

Шаг 2: Найдите вторую производную \(f""(x)\):

Чтобы найти вторую производную, дифференцируем первую производную \(f"(x)\):

\[
\begin{align*}
f""(x) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}\right) \\
&= \frac{d}{dx}\left(7(1-(7x)^2)^{-1/2}\right) \\
&= -\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}}
\end{align*}
\]

Таким образом, вторая производная \(f""(x)\) равна \(-\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}}\).

Шаг 3: Решите неравенство \(f""(x) > 1\) для \(x\), чтобы найти интервалы, на которых \(f""(x)\) больше 1:

Для решения данного неравенства, нам нужно определить значения \(x\), для которых \(-\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}} > 1\).

Примечание: Чтобы избежать деления на ноль, нам нужно также учесть ограничения на область определения функции \(\arcsin(7x)\). Функция \(\arcsin(7x)\) определена только в тех точках, где выполняется условие \(-1 \leq 7x \leq 1\). Поэтому мы должны учесть это условие при решении неравенства.

Решим неравенство и учтем ограничения:

\[
\begin{align*}
-\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}} &> 1 \\
\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}} &< -1 \\
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда \(1-(7x)^2 > 0\), то есть \(-\frac{1}{7} < x < \frac{1}{7}\):

\[
\begin{align*}
\frac{49x}{(1-(7x)^2)^{3/2}} &< -1 \\
49x &< -(1-(7x)^2)^{3/2} \\
(49x)^2 &< (1-(7x)^2)^3 \\
\end{align*}
\]

2. Когда \(1-(7x)^2 \leq 0\), то есть \(x \leq -\frac{1}{7}\) или \(x \geq \frac{1}{7}\), но на этих интервалах \(f""(x)\) автоматически не будет больше 1, поскольку условие \(1-(7x)^2 > 0\) не выполняется.

Таким образом, мы должны найти интервалы, на которых выполняется условие \(49x^2 < (1-(7x)^2)^3\), учитывая ограничение \(-\frac{1}{7} < x < \frac{1}{7}\).

Итак, у нас есть следующее неравенство:

\[
\begin{align*}
49x^2 &< (1-(7x)^2)^3
\end{align*}
\]

Определители (корни) данного неравенства достаточно сложно найти аналитически. Они могут быть найдены численными методами, такими как метод половинного деления или метод Ньютона.

Вывод: Чтобы найти интервалы, на которых производная второго порядка больше 1 для функции \(f(x) = \arcsin(7x)\), требуется решить неравенство \(49x^2 < (1-(7x)^2)^3\) на интервале \(-\frac{1}{7} < x < \frac{1}{7}\), используя численные методы. Определители (корни) могут быть найдены численными методами, о которых я упомянул ранее.