Найди уравнение окружности, которая проходит через точку 4 на горизонтальной оси и через точку 10 на вертикальной

Лунный_Свет

9

Хорошо! Чтобы найти уравнение окружности, необходимо знать её центр \((h, k)\) и радиус \(r\). В данной задаче у нас есть две точки на окружности: \(A(4, 0)\) и \(B(0, 10)\). Также известно, что центр окружности находится на горизонтальной оси.

Первым шагом рассчитаем координаты центра окружности \(C(h, k)\):
С учетом того, что центр окружности находится на горизонтальной оси, мы знаем, что координата \(y\) центра окружности равна нулю. Поэтому \(k = 0\).

Теперь нам нужно найти значение \(h\), координату \(x\) центра окружности. Применим свойство симметрии окружности относительно центра координат. Так как точки \(A\) и \(B\) находятся на окружности, то \(-h\) и \(-k\) тоже являются точками на окружности. То есть \((-4, 0)\) и \((0, -10)\) также принадлежат окружности.

Таким образом, мы имеем 4 точки, которые находятся на окружности: \(A(4, 0)\), \(B(0, 10)\), \((-4, 0)\) и \((0, -10)\).

Чтобы найти центр окружности \(C(h, k)\), мы можем использовать формулу середины отрезка между двумя точками на плоскости:
\[h = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[k = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Применяя эти формулы, мы получим:
\[h = \frac{{4 + (-4)}}{2} = 0\]
\[k = \frac{{0 + (-10)}}{2} = -5\]

Таким образом, координаты центра окружности равны \(C(0, -5)\).

Осталось найти радиус окружности \(r\). Для этого мы можем использовать любую из четырех точек на окружности. Давайте возьмем точку \(A(4, 0)\) и рассчитаем расстояние между центром и этой точкой, применяя теорему Пифагора:
\[r = \sqrt{{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}}\]
\[r = \sqrt{{(4 - 0)^2 + (0 - (-5))^2}}\]
\[r = \sqrt{{4^2 + 5^2}}\]
\[r = \sqrt{{16 + 25}}\]
\[r = \sqrt{{41}}\]

Таким образом, радиус окружности \(r = \sqrt{{41}}\).

Итак, уравнение искомой окружности будет:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]
\[(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 = (\sqrt{{41}})^2\]
\[x^2 + (y + 5)^2 = 41\]

Ответ: уравнение окружности, которая проходит через точку 4 на горизонтальной оси и через точку 10 на вертикальной оси, а её центр лежит на горизонтальной оси, будет \(x^2 + (y + 5)^2 = 41\).