Найдите длину диагонали B1D и угол, образованный этой диагональю и плоскостью основания, в прямоугольном

Morskoy_Plyazh

1

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Давайте начнем пошагово:

Шаг 1: Найдем длину диагонали B1D.

Для этого нам понадобится нахождение длины общей диагонали ABCD, а затем мы сможем использовать подобные треугольники для нахождения B1D.

Для начала, найдем длину диагонали ABCD. Мы знаем, что AB = 4 см, AD = 3 см и AC = AA1 (по условию прямоугольного параллелепипеда).

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, мы получим:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как AB = 4 см, AD = 3 см, то BC = CD = \(\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) см.

Таким образом, длина диагонали ABCD равна AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\) см.

Шаг 2: Найдем длину диагонали B1D.

Теперь мы можем использовать подобные треугольники ABCD и A1B1C1D1 для нахождения длины диагонали B1D.

Поскольку ABCD и A1B1C1D1 являются подобными, отношение длин их сторон будет одинаковым:

\(\frac{AC}{A1C1} = \frac{AB}{A1B1}\)

Заметим, что A1B1 = AB, так как противоположные ребра прямоугольного параллелепипеда равны.

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{\sqrt{41}}{A1C1} = \frac{4}{4}\)

Отсюда можно выразить длину A1C1:

\(A1C1 = \frac{\sqrt{41}}{4}\) см.

Учитывая, что A1C1D1 - прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали A1D1:

\[(A1D1)^2 = (A1C1)^2 + (C1D1)^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[(A1D1)^2 = \left(\frac{\sqrt{41}}{4}\right)^2 + 3^2\]

После вычислений, получаем:

\[(A1D1)^2 = \frac{41}{16} + 9 = \frac{41}{16} + \frac{144}{16} = \frac{185}{16}\]

Теперь найдем длину A1D1, взяв квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(A1D1 = \sqrt{\frac{185}{16}} = \frac{\sqrt{185}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{185}}{4}\) см.

Наконец, чтобы найти длину диагонали B1D, нам нужно вычесть A1B1 из A1D1, так как они являются противоположными гранями параллелепипеда:

\(B1D = A1D1 - A1B1 = \frac{\sqrt{185}}{4} - 4 = \frac{\sqrt{185} - 16}{4}\) см.

Шаг 3: Найдем угол, образованный диагональю B1D с плоскостью основания.

Воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольного параллелепипеда. Угол, образованный диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, равен противоположному углу при вершине параллелепипеда.

Таким образом, угол, образованный диагональю B1D и плоскостью основания, равен углу A1B1C1, который уже был вычислен в предыдущем шаге.

После вычисления длины диагонали B1D и угла, образованного ею и плоскостью основания, мы получаем:

Длина диагонали B1D: \(B1D = \frac{\sqrt{185} - 16}{4}\) см.

Угол, образованный диагональю B1D и плоскостью основания: угол A1B1C1.

Помните, что важно проверить правильность всех вычислений и использовать единицы измерения в ответах.