Найдите длину меньшей стороны и площадь прямоугольника с использованием следующих данных: большая сторона равна

Kosmos

17

Чтобы найти длину меньшей стороны прямоугольника, нам понадобится использовать теорему косинусов. Дано, что большая сторона равна 7,5 дм и угол между большей стороной и диагональю составляет 30 градусов. Давайте обозначим меньшую сторону прямоугольника как \(a\).

Согласно теореме косинусов, можем записать:

\[a^2 = 7,5^2 + x^2 - 2 \cdot 7,5 \cdot x \cdot \cos(30^\circ)\]

где \(x\) - это длина диагонали. В нашем случае \(x = 53^{\frac{1}{2}}\) дм.

Раскроем косинус 30 градусов, приведем уравнение в порядок и решим:

\[a^2 = 7,5^2 + 53 - 2 \cdot 7,5 \cdot \sqrt{53} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[a^2 = 56,25 + 53 - 15 \cdot \sqrt{53} \cdot \sqrt{3}\]

\[a^2 \approx 109,25 - 25,98 \cdot \sqrt{53}\]

Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[S = a \cdot b\]

где \(a\) - меньшая сторона, а \(b\) - большая сторона прямоугольника. Мы уже знаем значение \(b\), равное 7,5 дм.

Найдем значение \(a\), округлив до сотых:

\[a \approx \sqrt{109,25 - 25,98 \cdot \sqrt{53}} \approx 4,22\, \text{дм}\]

Наконец, вычислим площадь прямоугольника:

\[S = a \cdot b \approx 4,22 \cdot 7,5 \approx 31,65\, \text{дм}^2\]

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника составляет примерно 4,22 дм, а площадь прямоугольника равна примерно 31,65 дм² (округлено до сотых).