Найдите длину отрезка ef в прямоугольном треугольнике abc, где ac=bc=10см и две стороны квадрата cdfe лежат на катетах

Skvoz_Pesok

36

Чтобы найти длину отрезка ef в прямоугольном треугольнике abc, нам нужно использовать теорему Пифагора и некоторые свойства подобных треугольников.

Прежде всего, давайте посмотрим на прямоугольный треугольник abc. У нас есть два катета, ac и bc, которые оба равны 10 см. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы ab:

\[ab = \sqrt{{ac^2 + bc^2}} = \sqrt{{10^2 + 10^2}} = \sqrt{{200}} \approx 14.14 \, \text{см}\]

Теперь давайте посмотрим на квадрат cdfe. Мы знаем, что две его стороны лежат на катетах треугольника abc, то есть на отрезках ac и bc. Также, вершина e принадлежит гипотенузе ab.

Поскольку треугольники abc и ecf подобны (по свойству подобия треугольников), мы можем использовать отношение длин соответственных сторон, чтобы найти длину отрезка ef. Обозначим длину отрезка ef как x.

Теперь давайте запишем отношение длин соответственных сторон треугольников:

\[\frac{{ef}}{{ac}} = \frac{{ec}}{{ab}}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{{x}}{{10}} = \frac{{ec}}{{\sqrt{{200}}}}\]

Чтобы найти длину отрезка ef, нам нужно найти длину отрезка ec. Рассмотрим треугольник ebc, который также является прямоугольным треугольником.

Используя теорему Пифагора для треугольника ebc, мы можем найти длину отрезка ec:

\[ec = \sqrt{{eb^2 + bc^2}} = \sqrt{{x^2 + 10^2}}\]

Теперь мы можем вернуться к уравнению:

\[\frac{{x}}{{10}} = \frac{{\sqrt{{x^2 + 10^2}}}}{{\sqrt{{200}}}}\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем сократить корни:

\[\frac{{x}}{{10}} = \frac{{\sqrt{{x^2 + 100}}}}{{\sqrt{{2 \cdot 100}}}}\]

\[\frac{{x}}{{10}} = \frac{{\sqrt{{x^2 + 100}}}}{{\sqrt{{2}} \cdot \sqrt{{100}}}}\]

\[\frac{{x}}{{10}} = \frac{{\sqrt{{x^2 + 100}}}}{{\sqrt{{2}} \cdot 10}}\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной. Чтобы решить его, можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\frac{{x}}{{10}}\right)^2 = \left(\frac{{\sqrt{{x^2 + 100}}}}{{\sqrt{{2}} \cdot 10}}\right)^2\]

\[\frac{{x^2}}{{100}} = \frac{{x^2 + 100}}{{2 \cdot 100}}\]

\[\frac{{x^2}}{{100}} = \frac{{x^2 + 100}}{{200}}\]

Перемножим обе части уравнения на 100:

\[x^2 = \frac{{x^2 + 100}}{{2}}\]

Перемножим обе части уравнения на 2:

\[2x^2 = x^2 + 100\]

Вычтем x^2 из обеих частей уравнения:

\[x^2 = 100\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка ef в равна 10 см.