Найдите длину отрезка PS, если известно, что биссектриса RQ, которая делит сторону PRS на отрезки, равна 1,5 х

Chaynik

51

Чтобы найти длину отрезка PS, нам нужно воспользоваться теоремой биссектрисы.
Согласно этой теореме, биссектриса отрезка PRS делит его на две части, пропорциональные сторонам, к которым она проведена.

Обозначим длину отрезка PR как a, а длину отрезка RS как b.
Так как биссектриса RQ делит сторону PRS на отрезки, пропорциональные сторонам PR и RS, то можно записать следующее уравнение пропорции:

\(\frac{PQ}{QS} = \frac{PR}{RS}\)

Заметим, что длина отрезка PQ равна сумме длин отрезков PR и RQ, то есть a + 1.5x. А длина отрезка QS равна 2x + 2.

Подставим известные значения в уравнение пропорции и решим его:

\(\frac{a + 1.5x}{2x + 2} = \frac{5}{b}\)

Перемножим крест-накрест:

\((a + 1.5x) \cdot b = 5 \cdot (2x + 2)\)

\(ab + 1.5bx = 10x + 10\)

Так как PR = 5, то a = 5.

\(5b + 1.5bx = 10x + 10\)

Сгруппируем похожие члены:

\(1.5bx - 10x = -5b + 10\)

Вынесем общий множитель:

\(x(1.5b - 10) = -5b + 10\)

Разделим обе части на \(1.5b - 10\):

\(x = \frac{-5b + 10}{1.5b - 10}\)

Теперь заменим x в уравнении PQ = a + 1.5x и найдем длину отрезка PQ:

\(PQ = 5 + 1.5 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10}\)

\(\frac{PQ}{QS} = \frac{5}{b}\)

\(5(2x + 2) = b(a + 1.5x)\)

\(5(2 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10} + 2) = b(5 + 1.5 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10})\)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (b), которое мы можем решить:

\(5(2 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10} + 2) = b(5 + 1.5 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10})\)

Упростим выражение справа:

\(5(2 \cdot \frac{-5b + 10}{1.5b - 10} + 2) = b(\frac{15 - 7.5b + 15}{1.5b - 10})\)

Упростим числители:

\(5(\frac{-10b + 20 + 2(1.5b - 10)}{1.5b - 10}) = b(\frac{30 - 7.5b}{1.5b - 10})\)

\(5(\frac{-10b + 20 + 3b - 20}{1.5b - 10}) = b(\frac{30 - 7.5b}{1.5b - 10})\)

Сгруппируем похожие члены:

\(5(\frac{-7b}{1.5b - 10}) = b(\frac{30 - 7.5b}{1.5b - 10})\)

Разделим обе части на \(1.5b - 10\):

\(5(\frac{-7b}{1.5b - 10}) = b(\frac{30 - 7.5b}{1.5b - 10})\)

\(5 \cdot -7b = b(30 - 7.5b)\)

\(-35b = 30b - 7.5b^2\)

Упорядочим члены по убыванию степеней:

\(7.5b^2 + 35b - 30b = 0\)

Упростим выражение:

\(7.5b^2 + 5b = 0\)

Разделим обе части на b:

\(7.5b + 5 = 0\)

Выразим b:

\(b = \frac{-5}{7.5}\)

b = -0.666667

Заменим b в уравнении PQ = a + 1.5x:

\(PQ = 5 + 1.5 \cdot \frac{-5(-0.666667) + 10}{1.5(-0.666667) - 10}\)

\(PQ = 5 + 1.5 \cdot \frac{3.333335 + 10}{-0.999999 - 10}\)

\(PQ = 5 + 1.5 \cdot \frac{13.333335}{-10.999999}\)

\(PQ = 5 + \frac{1.5 \cdot 13.333335}{-10.999999}\)

\(PQ = 5 + \frac{20}{-10.999999}\)

\(PQ = 5 - \frac{20}{10.999999}\)

\(PQ \approx 3.636\)

Таким образом, длина отрезка PS, равна примерно 3.636 см.