Найдите длины высот треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и

Ярило

49

15 см.

Для начала, давайте вспомним, что такое высота треугольника. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины этого треугольника к противоположной стороне. Таким образом, у треугольника всегда есть три высоты - одна для каждой стороны. Теперь перейдем к нашей задаче.

Мы имеем треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Чтобы найти длины высот этого треугольника, нам понадобится использовать формулу для нахождения площади треугольника. Формула звучит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a,\]

где S - площадь треугольника, а и h_a - соответственно, основание и длина высоты, опущенной из вершины треугольника к этому основанию.

Теперь мы сможем найти площадь данного треугольника с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},\]

где a, b и c - стороны треугольника, а p - полупериметр треугольника, определяемый следующей формулой:

\[p = \frac{a + b + c}{2}.\]

Итак, давайте найдем площадь S:

\[S = \sqrt{\frac{(13 + 14 + 15)}{2} \cdot \left(\frac{(13 + 14 + 15)}{2} - 13\right) \cdot \left(\frac{(13 + 14 + 15)}{2} - 14\right) \cdot \left(\frac{(13 + 14 + 15)}{2} - 15\right)}.\]

\[
S = \sqrt{\frac{42}{2} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{2}}
= \sqrt{21 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}
= \sqrt{504}
= 12\sqrt{14}.
\]

Теперь, используя формулу для площади треугольника и площадь, которую мы только что нашли, мы можем найти значение одной из высот, опущенной к соответствующей стороне. Давайте найдем высоту, опущенную к стороне длиной 13 см, которую мы обозначим как h_1:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_1.\]

Из этого уравнения мы можем найти значение h_1:

\[12\sqrt{14} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_1.\]

\[
h_1 = \frac{24\sqrt{14}}{13}.
\]

Аналогичным образом, мы можем найти значения других двух высот. Высоту, опущенную к стороне длиной 14 см, обозначим как h_2:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_2.\]

\[
h_2 = \frac{12\sqrt{14}}{7}.
\]

И, наконец, осталось найти значение третьей высоты, опущенной к стороне длиной 15 см, которую мы обозначим как h_3:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_3.\]

\[
h_3 = \frac{8\sqrt{14}}{5}.
\]

Таким образом, ответом на задачу являются три высоты треугольника: h_1 = \(\frac{24\sqrt{14}}{13}\), h_2 = \(\frac{12\sqrt{14}}{7}\) и h_3 = \(\frac{8\sqrt{14}}{5}\).