Які довжини катетів у прямокутному трикутнику, у якого гіпотенуза має довжину 17 см, а синус одного з гострих кутів
Які довжини катетів у прямокутному трикутнику, у якого гіпотенуза має довжину 17 см, а синус одного з гострих кутів становить 8/17?
Звонкий_Ниндзя 14
Давайте найдемо довжини катетів у заданому прямокутному трикутнику.Ми знаємо, що гіпотенуза має довжину 17 см. Нехай \(a\) і \(b\) - довжини катетів.
За теоремою Піфагора, \(a^2 + b^2 = c^2\), де \(c\) - гіпотенуза.
В нашому випадку, ми маємо \(c = 17\), тому:
\[a^2 + b^2 = 17^2\]
\[a^2 + b^2 = 289\]
Також, ми знаємо, що синус одного з гострих кутів становить \(8/17\). Нехай цей кут буде \(x\).
Синус кута визначається формулою: \(\sin(x) = \frac{{протилежний\ катет}}{{гіпотенуза}}\)
У нашому випадку, ми маємо \(\sin(x) = \frac{8}{17}\). Запишемо це:
\(\sin(x) = \frac{8}{17}\)
Знаючи цю інформацію, ми можемо використати визначення синусу, щоб отримати додаткову інформацію про наш трикутник.
За визначенням синусу:
\[\sin(x) = \frac{{протилежний\ катет}}{{гіпотенуза}}\]
В нашому випадку, ми знаємо синус \(x\) і гіпотенузу \(c\), тому можемо записати:
\[\frac{8}{17} = \frac{{протилежний\ катет}}{{17}}\]
Можемо помножити обидві сторони на 17, щоб позбутися від знаменника:
\[\frac{8}{17} \cdot 17 = \frac{{протилежний\ катет}}{{17}} \cdot 17\]
Скорочуємо 17:
\[8 = протилежний\ катет\]
Таким чином, відомо, що протилежний катет дорівнює 8 см.
Тепер ми можемо взяти нашу першу формулу \(a^2 + b^2 = 289\) і підставити в неї вже відомі значення:
\[8^2 + b^2 = 289\]
\[64 + b^2 = 289\]
Віднімемо 64 від обох боків рівняння:
\[b^2 = 225\]
Щоб знайти \(b\), потрібно взяти квадратний корінь обох боків:
\[b = \sqrt{225}\]
\[b = 15\]
Таким чином, ми отримали, що другий катет дорівнює 15 см.
Отже, довжини катетів у прямокутному трикутнику, у якого гіпотенуза має довжину 17 см, а синус одного з гострих кутів становить 8/17, дорівнюють 8 см та 15 см.