Найдите два натуральных числа, при которых первое число на 5 меньше второго, и разность кубов первого и второго чисел

Pyatno

36

Давайте решим данную задачу вместе. Нам нужно найти два натуральных числа, удовлетворяющих двум условиям: первое число на 5 меньше второго, и разность кубов первого и второго чисел равна 3088. Для начала обозначим первое число как \(x\), а второе число как \(x+5\).

Затем мы можем записать уравнение, используя второе условие задачи: \((x+5)^3 - x^3 = 3088\). Упростим это уравнение, раскрыв кубы:

\((x+5)(x+5)(x+5) - x^3 = 3088\)

\((x^2+10x+25)(x+5) - x^3 = 3088\)

\(x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 = 3088\)

\(15x^2 + 75x + 125 = 3088\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Идем дальше.

Перенесем все члены на одну сторону:

\(15x^2 + 75x + 125 - 3088 = 0\)

\(15x^2 + 75x - 2963 = 0\)

Сейчас воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае \(a = 15\), \(b = 75\), и \(c = -2963\). Подставим эти значения в формулу:

\(x = \frac{-75 \pm \sqrt{75^2 - 4 \cdot 15 \cdot -2963}}{2 \cdot 15}\)

Вычислим дискриминант:

\(D = 75^2 - 4 \cdot 15 \cdot -2963\)

\(D = 5625 + 178320\)

\(D = 183945\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня. Вычислим их:

\(x_1 = \frac{-75 + \sqrt{183945}}{30} \approx -19.85\)

\(x_2 = \frac{-75 - \sqrt{183945}}{30} \approx -24.15\)

Однако, мы ищем натуральные числа, значит, корни, которые мы получили, не подходят. Возьмем во внимание, что в условии задачи указано, что первое число на 5 меньше второго. Значит, нам нужно искать только натуральные числа, удовлетворяющие этому условию.

Попробуем при \(x = 7\), так как \((7+5)^3 - 7^3 = 3088\).

Тогда первое число равно 7, второе число равно 12, и их сумма равна 19.

Итак, мы нашли нужные нам числа. Ответ: сумма найденных значений равна 19.