Найдите корни уравнения 3tg^3x + 3tg^2x + 3tgx + 1 = 0, которые находятся в пределах [-p/2;p

Георгий

38

Для начала решим данное уравнение пошагово.

Шаг 1: Применим замену переменной. Пусть \(y = tg(x)\). Тогда уравнение примет вид:
\[3y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = 0\]

Шаг 2: Разложим выражение \(3y^3 + 3y^2 + 3y + 1\) на множители.

\begin{align*}
3y^3 + 3y^2 + 3y + 1 &= (y + 1)(3y^2 + 3)\\
&= (y + 1)3(y^2 + 1)
\end{align*}

Шаг 3: Получаем два уравнения:
\[(y + 1) = 0 \quad \text{и} \quad (y^2 + 1) = 0\]

Для первого уравнения получаем \(y = -1\).

Для второго уравнения решим квадратное уравнение \(y^2 + 1 = 0\).

Шаг 4: Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:
\[y^2 = -1\]

Шаг 5: Применяем извлечение корня:
\[y = \pm \sqrt{-1}\]

Так как мы рассматриваем ближайшие корни, которые находятся в пределах \([-p/2; p/2]\), то рассмотрим только корень \(y = \sqrt{-1} = i\).

Шаг 6: Подставляем значение \(y = i\) обратно в замену переменной \(y = tg(x)\) и решаем:
\[i = tg(x)\]

Шаг 7: Находим обратную функцию тангенса (арктангенс):
\[x = arctg(i)\]

Заметим, что \(arctg(i)\) является комплексным числом. В данной задаче нам нужны только вещественные корни, поэтому игнорируем его.

Шаг 8: Итак, корнями данного уравнения являются \(y = -1\) и \(x = arctg(i)\), где \(i\) - мнимая единица.