Найдите максимальное и минимальное значение функции у = 1 – х^4 + х^5 на интервале (-3

Morskoy_Kapitan

40

Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции \(y = 1 - x^4 + x^5\) на интервале \((-3, 3)\), мы должны сначала найти критические точки, а затем проанализировать поведение функции внутри и на концах интервала.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[y" = -4x^3 + 5x^4\]

2. Найдем критические точки, решив уравнение \(y" = 0\):
\[-4x^3 + 5x^4 = 0\]

Мы можем вынести общий множитель \(x^3\) и получим:
\[x^3(-4 + 5x) = 0\]

Таким образом, у нас две критические точки \(x = 0\) и \(x = \frac{4}{5}\).

3. Чтобы определить, является ли эта точка локальным минимумом или максимумом, проанализируем знак производной в окрестности каждой из них.
- При \(x < -3\), производная \(y"\) будет положительной, так как сдвигает отрицательное слагаемое к положительному целому числу. Таким образом, функция возрастает.
- В окрестности \(x = 0\), знак производной меняется. Функция убывает до \(x = 0\) и возрастает после. Значит, \(x = 0\) - точка перегиба.
- В окрестности \(x = \frac{4}{5}\), знак производной не меняется. Функция продолжает возрастать. Значит, \(x = \frac{4}{5}\) - локальный минимум.

4. Теперь найдем значения функции \(y\) на концах интервала \((-3, 3)\):
- При \(x = -3\), \(y = 1 - (-3)^4 + (-3)^5 = 657\)
- При \(x = 3\), \(y = 1 - 3^4 + 3^5 = -395\)

5. Перечислим полученные значения и определим максимальное и минимальное значение:
- Минимальное значение функции: -395 (достигается при \(x = 3\))
- Максимальное значение функции: 657 (достигается при \(x = -3\))

Таким образом, на интервале \((-3, 3)\) функция \(y = 1 - x^4 + x^5\) принимает минимальное значение -395 при \(x = 3\) и максимальное значение 657 при \(x = -3\).