Найдите максимум и минимум функций F(x)=5sin8x-6 и F(x)=2cos3x-1

Чудесный_Король

6

Хорошо, дадим подробное решение задачи о поиске максимума и минимума для функций \(F(x) = 5\sin(8x) - 6\) и \(F(x) = 2\cos(3x) - 1\).

1. Функция \(F(x) = 5\sin(8x) - 6\):
Для начала найдем производную функции:
\(F"(x) = (5\sin(8x) - 6)" = 5(8\cos(8x)) = 40\cos(8x)\).

Чтобы найти критические точки функции (то есть точки, где производная равна нулю или не определена), приравняем \(F"(x)\) к нулю:
\(40\cos(8x) = 0\).

Для нахождения значений \(x\) вычислим аргументы, при которых \(\cos(8x) = 0\):
\(\cos(8x) = 0\) при \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}\), где \(k\) - целое число.

Теперь найдем вторую производную:
\(F""(x) = (40\cos(8x))" = -320\sin(8x)\).

Чтобы определить характер точек, найдем значения \(x\), при которых \(F""(x) = 0\):
\(-320\sin(8x) = 0\).

Для нахождения значений \(x\), вычислим аргументы, при которых \(\sin(8x) = 0\):
\(\sin(8x) = 0\) при \(x = \frac{\pi k}{8}\), где \(k\) - целое число.

Теперь имеем следующую информацию:
- Функция \(F(x)\) имеет критические точки при \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}\), где \(k\) - целое число.
- Функция \(F(x)\) имеет экстремумы (максимумы и минимумы) в тех точках, где производная меняет знак.
- Возможные значения \(x\) для максимума и минимума находятся между критическими точками.

Теперь найдем значения функции \(F(x)\) в критических точках и в концах области, чтобы определить экстремумы:

Подставим \(x = \frac{\pi}{16}\) в \(F(x)\):
\(F\left(\frac{\pi}{16}\right) = 5\sin\left(8\cdot\frac{\pi}{16}\right) - 6 = 5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6 = 5 \cdot 1 - 6 = -1\).

Подставим \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{8}\) в \(F(x)\):
\(F\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{8}\right) = 5\sin\left(8\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{8}\right)\right) - 6 = 5\sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) - 6 = -1 - 6 = -7\).

Теперь определяем максимальное и минимальное значения функции:
Функция \(F(x)\) имеет максимум равный -1 при \(x = \frac{\pi}{16}\) и минимум равный -7 при \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{8}\).

2. Функция \(F(x) = 2\cos(3x) - 1\):
Найдем производную функции:
\(F"(x) = (2\cos(3x) - 1)" = 2(-3\sin(3x)) = -6\sin(3x)\).

Приравняем \(F"(x)\) к нулю, чтобы найти критические точки:
\(-6\sin(3x) = 0\).

Для нахождения значений \(x\), вычислим аргументы, при которых \(\sin(3x) = 0\):
\(\sin(3x) = 0\) при \(x = \frac{\pi k}{3}\), где \(k\) - целое число.

Найдем вторую производную:
\(F""(x) = (-6\sin(3x))" = -18\cos(3x)\).

Для определения характера точек, найдем значения \(x\), при которых \(F""(x) = 0\):
\(-18\cos(3x) = 0\).

Для нахождения значений \(x\), вычислим аргументы, при которых \(\cos(3x) = 0\):
\(\cos(3x) = 0\) при \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}\), где \(k\) - целое число.

Сводим информацию:
- Функция \(F(x)\) имеет критические точки при \(x =\frac{\pi k}{3}\), где \(k\) - целое число.
- Функция \(F(x)\) имеет экстремумы на интервалах между критическими точками.

Теперь посчитаем значения функции \(F(x)\) в критических точках и на концах области, чтобы определить экстремумы:

Подставим \(x = 0\) в \(F(x)\):
\(F(0) = 2\cos(3\cdot0) - 1 = 2\cos(0) - 1 = 2 - 1 = 1\).

Подставим \(x = \frac{\pi}{6}\) в \(F(x)\):
\(F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1\).

Подставим \(x = \frac{\pi}{3}\) в \(F(x)\):
\(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right) - 1 = 2\cos(\pi) - 1 = 2 \cdot (-1) - 1 = -3\).

Теперь определим максимальное и минимальное значения функции:
Функция \(F(x)\) имеет максимум равный 1 при \(x = 0\) и минимум равный -3 при \(x = \frac{\pi}{3}\).

Вот мы нашли максимумы и минимумы для функций \(F(x) = 5\sin(8x) - 6\) и \(F(x) = 2\cos(3x) - 1\) с подробным объяснением каждого шага решения. Все вычисления проведены для понимания его школьником.