Какие будут координаты векторов 3a+4b и 2a+3b, если изначально заданы векторы a {1;-2} и b {-2;5}?

Солнце

62

Чтобы найти координаты векторов \(3\mathbf{a}+4\mathbf{b}\) и \(2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\), нам необходимо выполнить операции сложения и умножения на скаляр.

У нас есть векторы \(\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix}\).

1. Давайте найдем вектор \(3\mathbf{a}+4\mathbf{b}\):
Умножим каждую координату вектора \(\mathbf{a}\) на число 3 и каждую координату вектора \(\mathbf{b}\) на число 4. Затем сложим полученные результаты:

\[3\mathbf{a} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \end{bmatrix}\]

\[4\mathbf{b} = 4 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 20 \end{bmatrix}\]

Теперь сложим полученные результаты:

\[3\mathbf{a} + 4\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + (-8) \\ -6 + 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 14 \end{bmatrix}\]

Таким образом, координаты вектора \(3\mathbf{a}+4\mathbf{b}\) равны \((-5, 14)\).

2. Теперь рассмотрим вектор \(2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\):
Аналогично предыдущему шагу, умножим каждую координату вектора \(\mathbf{a}\) на число 2 и каждую координату вектора \(\mathbf{b}\) на число 3. Затем сложим полученные результаты:

\[2\mathbf{a} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}\]

\[3\mathbf{b} = 3 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot (-2) \\ 3 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \end{bmatrix}\]

Теперь сложим полученные результаты:

\[2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + (-6) \\ -4 + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 11 \end{bmatrix}\]

Таким образом, координаты вектора \(2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\) равны \((-4, 11)\).

Таким образом, координаты векторов \(3\mathbf{a}+4\mathbf{b}\) и \(2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\) равны \((-5, 14)\) и \((-4, 11)\) соответственно.