Найдите меру угла А, если АВ = 3, АС = 4 и ∠САВ = 3, причем центр окружности, описанной вокруг треугольника

Sherlok_342

1

Для решения данной задачи, давайте взглянем на треугольник ABC:

$$\begin{array}{ll}AB=3& \text{(дано)}\\ AC=4& \text{(дано)}\\ \mathrm{\angle }CAB=3^{\circ }& \text{(дано)}\end{array}$$

Так как окружность описана вокруг треугольника ABC и центр окружности находится вне треугольника (как упомянуто в условии), то мы можем использовать свойство описанной окружности треугольника. Это свойство гласит, что угол, образованный стороной треугольника и хордой, равен половине от центрального угла, соответствующего этой хорде.

Сначала нам нужно найти центральный угол, соответствующий стороне AB, чтобы найти угол A. Обозначим этот центральный угол как x.

Так как у нас есть свойство описанной окружности треугольника, то:
$$\mathrm{\angle }A=2\times \mathrm{\angle }C$$
$$\Rightarrow \mathrm{\angle }A=2\times 3^{\circ }=6^{\circ }$$

Теперь найдем центральный угол, соответствующий стороне AC. Обозначим этот центральный угол как y.

Угол A является наибольшим углом в треугольнике ABC. Поэтому, чтобы найти x и y, мы можем использовать следующие свойства:

$$x={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }C$$
$$x={180}^{\circ }-6^{\circ }-3^{\circ }={171}^{\circ }$$

$$y={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B$$
$$y={180}^{\circ }-6^{\circ }-x={180}^{\circ }-6^{\circ }-{171}^{\circ }=3^{\circ }$$

Теперь, чтобы найти угол А, нам нужно найти половину угла x:

$$\mathrm{\angle }A=\frac{x}{2}=\frac{{171}^{\circ }}{2}={85.5}^{\circ }$$

Таким образом, мера угла A равна ${85.5}^{\circ }$.