Найдите наибольшее возможное значение суммы a+b, при условии, что неравенство ab2+ba2

Mandarin_199

29

Данное неравенство может быть решено с помощью метода подстановки. Для начала, предположим, что $a$ и $b$ являются неотрицательными числами.

После применения неравенства $a{b}^2+b{a}^2\ge 2\sqrt{a{b}^2}\cdot 2\sqrt{b{a}^2}$ мы получим:
$$a{b}^2+b{a}^2\ge 4\sqrt{a^3{b}^3}$$

Теперь давайте введем новую переменную $x=\sqrt{ab}$. Тогда можно произвести замену в неравенстве:
$$2x^2\ge 4x^3$$

Избавимся от множителя 2 и разделим обе части неравенства на $x$:
$$x\ge 2x^2$$

Теперь мы можем решить данное квадратное неравенство. Для этого расставим все в правильном порядке:
$$2x^2-x\le 0$$

Чтобы найти значения переменной $x$, удовлетворяющие неравенству, рассмотрим его график на основе знака выражения. Замечаем, что неравенство будет истинным для интервала значений $\frac{1}{2}\le x\le 0$.

Теперь вернемся к нашим переменным $a$ и $b$. Зная, что $x=\sqrt{ab}$, мы можем записать следующие неравенства:
$$\frac{1}{2}\le \sqrt{ab}\le 0$$

Так как корень из произведения двух чисел будет больше нуля или равен ему только если оба числа положительны или оба числа отрицательны, мы можем сделать вывод, что знаки чисел $a$ и $b$ должны быть одинаковыми.

Так как мы предполагаем, что $a$ и $b$ являются неотрицательными числами, значит, они оба должны быть неотрицательными. Следовательно, значение наибольшей суммы $a+b$ будет достигаться, когда оба числа равны нулю, то есть $a=0$ и $b=0$.

Таким образом, наибольшее значение суммы $a+b$ при заданном неравенстве будет равно 0.