Найдите наибольшее возможное значение суммы a+b, при условии, что неравенство ab2+ba2

Mandarin_199

29

Данное неравенство может быть решено с помощью метода подстановки. Для начала, предположим, что \(a\) и \(b\) являются неотрицательными числами.

После применения неравенства \(ab^{2} + ba^{2} \geq 2\sqrt{ab^{2}} \cdot 2\sqrt{ba^{2}}\) мы получим:
\[ab^{2} + ba^{2} \geq 4 \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

Теперь давайте введем новую переменную \(x = \sqrt{ab}\). Тогда можно произвести замену в неравенстве:
\[2x^{2} \geq 4x^{3}\]

Избавимся от множителя 2 и разделим обе части неравенства на \(x\):
\[x \geq 2x^{2}\]

Теперь мы можем решить данное квадратное неравенство. Для этого расставим все в правильном порядке:
\[2x^{2} - x \leq 0\]

Чтобы найти значения переменной \(x\), удовлетворяющие неравенству, рассмотрим его график на основе знака выражения. Замечаем, что неравенство будет истинным для интервала значений \(\frac{1}{2} \leq x \leq 0\).

Теперь вернемся к нашим переменным \(a\) и \(b\). Зная, что \(x = \sqrt{ab}\), мы можем записать следующие неравенства:
\[\frac{1}{2} \leq \sqrt{ab} \leq 0\]

Так как корень из произведения двух чисел будет больше нуля или равен ему только если оба числа положительны или оба числа отрицательны, мы можем сделать вывод, что знаки чисел \(a\) и \(b\) должны быть одинаковыми.

Так как мы предполагаем, что \(a\) и \(b\) являются неотрицательными числами, значит, они оба должны быть неотрицательными. Следовательно, значение наибольшей суммы \(a + b\) будет достигаться, когда оба числа равны нулю, то есть \(a = 0\) и \(b = 0\).

Таким образом, наибольшее значение суммы \(a + b\) при заданном неравенстве будет равно 0.