Найдите наибольший отрицательный корень уравнения tg пи(4x-5)/4=-1 и запишите его в ответе

Fedor

45

Хорошо! Давайте решим эту задачу по шагам, чтобы ответ был понятен. Итак, у нас есть уравнение:

\[\tan\left(\frac{\pi(4x-5)}{4}\right) = -1.\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от тангенса. Мы знаем, что тангенс является функцией обратной к котангенсу. Поэтому мы можем записать наше уравнение в следующей форме:

\[\cot\left(\frac{\pi(4x-5)}{4}\right) = -1.\]

Шаг 2: Теперь мы можем записать уравнение в виде косинуса:

\[\cos\left(\frac{\pi(4x-5)}{4}\right) = \frac{1}{-1}.\]

Или просто:

\[\cos\left(\frac{\pi(4x-5)}{4}\right) = -1.\]

Шаг 3: Найдем значения \(x\), для которых косинус равен -1. Косинус равен -1 только в тех точках, где аргумент равен:

\[\frac{\pi(4x-5)}{4} = \pi + 2\pi n,\]

где \(n\) - это любое целое число.

Шаг 4: Решим уравнение относительно \(x\). Сначала избавимся от множителя \(\frac{\pi}{4}\):

\[4x-5 = 4 + 8n.\]

Теперь прибавим 5 ко всем частям уравнения:

\[4x = 9 + 8n.\]

И, наконец, разделим все на 4:

\[x = \frac{9}{4} + 2n.\]

Это общее решение уравнения.

Шаг 5: Теперь найдем наибольшее отрицательное значение \(x\). Для этого должно выполняться условие \(x < 0\). Подставим уравнение \(x = \frac{9}{4} + 2n\) в это условие:

\[\frac{9}{4} + 2n < 0.\]

Выражая \(n\), получаем:

\[n < -\frac{9}{8}.\]

Таким образом, наибольшее отрицательное значение \(x\) равно:

\[x = \frac{9}{4} + 2 \cdot \left(-1\right) = \frac{9}{4} - 2 = -\frac{7}{4}.\]

Ответ: наибольший отрицательный корень уравнения \(\tan\left(\frac{\pi(4x-5)}{4}\right) = -1\) равен \(-\frac{7}{4}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что этот метод основан на решении уравнения и применении свойств функций тригонометрии.