Найдите объем цилиндра с данными пропорциями радиуса основания и высоты. Даны пропорции - радиус относится к высоте

Gennadiy

47

Хорошо, давайте решим задачу.

Для начала, давайте обозначим радиус цилиндра как \(r\), а высоту - как \(h\). Также, нам дано, что радиус относится к высоте как 1:2. Это означает, что мы можем записать соотношение между радиусом и высотой следующим образом:

\(\frac{r}{h} = \frac{1}{2}\)

Теперь, нам также известно, что диагональ осевого сечения равна \(12\sqrt{2}\). Диагональ осевого сечения цилиндра это диагональ прямоугольного треугольника, составленного из радиуса и высоты. Поэтому, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти связь между радиусом и высотой. Теорема Пифагора говорит нам, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенузой является диагональ осевого сечения, а катетами - радиус и высота. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(r^2 + h^2 = (12\sqrt{2})^2\)

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их вместе.

Возьмем первое уравнение, где радиус относится к высоте как 1:2. Мы можем переписать это уравнение в виде \(r = \frac{h}{2}\).

Теперь подставим это значение радиуса во второе уравнение:

\(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + h^2 = (12\sqrt{2})^2\)

Упрощая это уравнение, мы получим:

\(\frac{h^2}{4} + h^2 = 144 \times 2\)

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(h^2 + 4h^2 = 576\)

Складываем одночлены:

\(5h^2 = 576\)

Делим обе части на 5:

\(h^2 = \frac{576}{5}\)

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\(h = \sqrt{\frac{576}{5}}\)

Вычисляем значение высоты:

\(h \approx 8.56\) (округленно до двух знаков после запятой)

Теперь, чтобы найти радиус, мы можем использовать первое уравнение:

\(r = \frac{h}{2} \approx \frac{8.56}{2} \approx 4.28\) (округленно до двух знаков после запятой)

Итак, мы получили, что высота цилиндра \(h \approx 8.56\) и радиус \(r \approx 4.28\).

Наконец, чтобы найти объем цилиндра, мы можем использовать формулу:

\(V = \pi r^2 h\)

Подставляем значения радиуса и высоты:

\(V = \pi \times (4.28)^2 \times 8.56\)

Вычисляем значение:

\(V \approx 618.88\) (округленно до двух знаков после запятой)

Таким образом, объем цилиндра с данными пропорциями радиуса и высоты составляет примерно 618.88 кубических единиц.