Найдите первообразную для функции f(x) = 3cos2x, график которой проходит через точку M (п/4;0

Ярмарка

33

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 3\cos(2x)\), нам потребуется использовать правило интегрирования для тригонометрических функций. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Используем формулу для интегрирования функции \(\cos(ax)\), где \(a\) - константа.
Интеграл от \(\cos(ax)\) равен \(\frac{{\sin(ax)}}{a}\), при условии, что \(a \neq 0\).

В нашем случае, \(a = 2\), поэтому интеграл от \(f(x) = 3\cos(2x)\) будет:

\(\int{3\cos(2x)dx} = \frac{{3\sin(2x)}}{2}\) + C,

где \(C\) - произвольная константа.

Шаг 2: Теперь, чтобы найти конкретную первообразную функции, нам нужна информация о точке \(M(\frac{\pi}{4}, 0)\), через которую проходит график функции.

Поскольку график функции проходит через точку \(M(\frac{\pi}{4}, 0)\), мы можем использовать это условие, чтобы найти значение константы \(C\).

Подставим значения \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(y = 0\) в выражение:

\(\frac{{3\sin(2\frac{\pi}{4})}}{2} + C = 0\).

Здесь \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), поэтому уравнение будет:

\(\frac{{3\cdot 1}}{2} + C = 0\).

Упрощая это уравнение, мы получим:

\(\frac{3}{2} + C = 0\).

Выразим \(C\) через это уравнение:

\(C = -\frac{3}{2}\).

Итак, мы нашли значение константы \(C\) – это \(-\frac{3}{2}\).

В итоге, первообразная функции \(f(x) = 3\cos(2x)\), которая проходит через точку \(M(\frac{\pi}{4}, 0)\), будет равна:

\(\int{3\cos(2x)dx} = \frac{{3\sin(2x)}}{2} - \frac{3}{2} + C\).