1) Найдите два положительных числа, такие, что одно из них больше другого на 12, а их произведение равно 405. 2) Одна

Vitalyevna

70

по течению реки ту же дистанцию. Общее время пути катера в обе стороны составляет 8 часов. Найдите скорость течения реки и расстояние, пройденное катером в одну сторону.

1) Пусть первое число будет \(x\), а второе число будет \(x + 12\). По условию задачи, произведение этих чисел равно 405. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[x \cdot (x + 12) = 405\]
Чтобы решить это уравнение, давайте раскроем скобки:
\[x^2 + 12x = 405\]
Теперь приведем уравнение к каноническому виду, вычитая 405 с обеих сторон:
\[x^2 + 12x - 405 = 0\]
Рассмотрим факторизацию этого уравнения. Мы ищем два числа, у которых сумма равна 12 и произведение равно -405. Можно заметить, что 27 и -15 удовлетворяют этим условиям:
\[(x + 27)(x - 15) = 0\]
Таким образом, у нас есть два возможных значения:
\(x + 27 = 0\) или \(x - 15 = 0\)
Решая эти уравнения, получаем:
\(x = -27\) или \(x = 15\)
Так как мы ищем положительные числа, то x = 15.

Таким образом, первое число равно 15, а второе число равно 15 + 12 = 27.

2) Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, а вторая сторона будет \(x + 15\) см. Площадь прямоугольника равна 324 см\(^2\), поэтому мы можем записать уравнение:
\[x \cdot (x + 15) = 324\]
Раскроем скобки:
\[x^2 + 15x = 324\]
Приведем уравнение к каноническому виду:
\[x^2 + 15x - 324 = 0\]
Попробуем факторизовать это уравнение:
\[(x + 27)(x - 12) = 0\]
У нас есть два возможных значения:
\(x + 27 = 0\) или \(x - 12 = 0\)
Решая эти уравнения, получаем:
\(x = -27\) или \(x = 12\)
Так как стороны не могут быть отрицательными, то x = 12.

Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 см, а длина второй стороны равна 12 + 15 = 27 см.

3) Пусть первый рабочий может выполнить работу за \(x\) часов, а второй рабочий может выполнить работу за \(x + 12\) часов. Из условия задачи, мы знаем, что они могут выполнить работу вместе за 8 часов. Поэтому мы можем записать уравнение:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{8}\]
Для решения этого уравнения сначала найдем общий знаменатель:
\[8(x + 12) + 8x = x(x + 12)\]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[8x + 96 + 8x = x^2 + 12x\]
\[16x + 96 = x^2 + 12x\]
\[x^2 - 4x - 96 = 0\]
Мы можем попытаться факторизовать это уравнение:
\[(x - 12)(x + 8) = 0\]
У нас есть два возможных значения:
\(x - 12 = 0\) или \(x + 8 = 0\)
Решая эти уравнения, получаем:
\(x = 12\) или \(x = -8\)
Так как мы ищем положительные значения, то x = 12.

Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 12 часов, а второй рабочий может выполнить работу за 12 + 12 = 24 часа.

4) Пусть скорость течения реки будет \(x\) км/ч. Скорость катера в самом катере составляет 20 км/ч. Мы знаем, что всего время пути катера в обе стороны составляет 8 часов. Поэтому мы можем использовать формулу \(v = \frac{d}{t}\), где \(v\) - скорость, \(d\) - расстояние и \(t\) - время.
При движении против течения катеру необходимо противостоять скорости течения. Таким образом, для катера скорость составляет \(20 - x\) км/ч.
Мы также знаем, что катер потом плывет по течению реки, поэтому для катера скорость составляет \(20 + x\) км/ч.

Мы можем использовать формулу \(d = v \cdot t\) для вычисления расстояния в обоих направлениях.
Давайте составим уравнения для каждого пути:
\[(20 - x) \cdot t_1 = d\]
\[(20 + x) \cdot t_2 = d\]
Общее время пути составляет 8 часов:
\[t_1 + t_2 = 8\]
Мы можем выразить \(d\) из первых двух уравнений и подставить в третье уравнение:
\(\frac{d}{20 - x} + \frac{d}{20 + x} = 8\)
\(\frac{2d}{20 - x + 20 + x} = 8\)
\(\frac{2d}{40} = 8\)
\(\frac{d}{40} = 4\)
\(d = 40 \cdot 4\)
\(d = 160\) км

Таким образом, скорость течения реки составляет 4 км/ч, а расстояние, пройденное катером в одну сторону, составляет 160 км.