1) Найдите два положительных числа, такие, что одно из них больше другого на 12, а их произведение равно 405. 2) Одна

Vitalyevna

70

по течению реки ту же дистанцию. Общее время пути катера в обе стороны составляет 8 часов. Найдите скорость течения реки и расстояние, пройденное катером в одну сторону.

1) Пусть первое число будет $x$, а второе число будет $x+12$. По условию задачи, произведение этих чисел равно 405. Мы можем записать это в виде уравнения:
$$x\cdot (x+12)=405$$
Чтобы решить это уравнение, давайте раскроем скобки:
$$x^2+12x=405$$
Теперь приведем уравнение к каноническому виду, вычитая 405 с обеих сторон:
$$x^2+12x-405=0$$
Рассмотрим факторизацию этого уравнения. Мы ищем два числа, у которых сумма равна 12 и произведение равно -405. Можно заметить, что 27 и -15 удовлетворяют этим условиям:
$$(x+27)(x-15)=0$$
Таким образом, у нас есть два возможных значения:
$x+27=0$ или $x-15=0$
Решая эти уравнения, получаем:
$x=-27$ или $x=15$
Так как мы ищем положительные числа, то x = 15.

Таким образом, первое число равно 15, а второе число равно 15 + 12 = 27.

2) Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а вторая сторона будет $x+15$ см. Площадь прямоугольника равна 324 см${}^2$, поэтому мы можем записать уравнение:
$$x\cdot (x+15)=324$$
Раскроем скобки:
$$x^2+15x=324$$
Приведем уравнение к каноническому виду:
$$x^2+15x-324=0$$
Попробуем факторизовать это уравнение:
$$(x+27)(x-12)=0$$
У нас есть два возможных значения:
$x+27=0$ или $x-12=0$
Решая эти уравнения, получаем:
$x=-27$ или $x=12$
Так как стороны не могут быть отрицательными, то x = 12.

Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 см, а длина второй стороны равна 12 + 15 = 27 см.

3) Пусть первый рабочий может выполнить работу за $x$ часов, а второй рабочий может выполнить работу за $x+12$ часов. Из условия задачи, мы знаем, что они могут выполнить работу вместе за 8 часов. Поэтому мы можем записать уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8}$$
Для решения этого уравнения сначала найдем общий знаменатель:
$$8(x+12)+8x=x(x+12)$$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$$8x+96+8x=x^2+12x$$
$$16x+96=x^2+12x$$
$$x^2-4x-96=0$$
Мы можем попытаться факторизовать это уравнение:
$$(x-12)(x+8)=0$$
У нас есть два возможных значения:
$x-12=0$ или $x+8=0$
Решая эти уравнения, получаем:
$x=12$ или $x=-8$
Так как мы ищем положительные значения, то x = 12.

Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 12 часов, а второй рабочий может выполнить работу за 12 + 12 = 24 часа.

4) Пусть скорость течения реки будет $x$ км/ч. Скорость катера в самом катере составляет 20 км/ч. Мы знаем, что всего время пути катера в обе стороны составляет 8 часов. Поэтому мы можем использовать формулу $v=\frac{d}{t}$, где $v$ - скорость, $d$ - расстояние и $t$ - время.
При движении против течения катеру необходимо противостоять скорости течения. Таким образом, для катера скорость составляет $20-x$ км/ч.
Мы также знаем, что катер потом плывет по течению реки, поэтому для катера скорость составляет $20+x$ км/ч.

Мы можем использовать формулу $d=v\cdot t$ для вычисления расстояния в обоих направлениях.
Давайте составим уравнения для каждого пути:
$$(20-x)\cdot t_1=d$$
$$(20+x)\cdot t_2=d$$
Общее время пути составляет 8 часов:
$$t_1+t_2=8$$
Мы можем выразить $d$ из первых двух уравнений и подставить в третье уравнение:
$\frac{d}{20-x}+\frac{d}{20+x}=8$
$\frac{2d}{20-x+20+x}=8$
$\frac{2d}{40}=8$
$\frac{d}{40}=4$
$d=40\cdot 4$
$d=160$ км

Таким образом, скорость течения реки составляет 4 км/ч, а расстояние, пройденное катером в одну сторону, составляет 160 км.