На каком интервале функция y = 1/2x^2 - 3 является возрастающей?

Магический_Замок

48

Для определения интервала, на котором функция \(y = \frac{1}{2}x^2 - 3\) является возрастающей, нужно проанализировать её производную.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого используем правило дифференцирования степенной функции. Производная функции \(y\) будет равна:
\[y" = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2}x^2 - 3\right)\]

Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
\[y" = \frac{d}{dx} \frac{1}{2}x^2 - \frac{d}{dx}3\]

Упрощаем выражение, используя свойство линейности дифференцирования:
\[y" = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}x^2 - 0\]

Продолжаем упрощение:
\[y" = \frac{1}{2} \cdot 2x\]

Таким образом, производная функции \(y\) равна:
\[y" = x\]

Шаг 2: Чтобы определить, когда функция \(y\) является возрастающей, необходимо знать знак производной \(y"\). Если \(y" > 0\), то функция возрастает.

Как мы видим из производной \(y" = x\), знак производной будет определяться знаком переменной \(x\). Если \(x > 0\), то \(y" > 0\) и функция возрастает. Если \(x < 0\), то \(y" < 0\) и функция убывает.

Значит, функция \(y = \frac{1}{2}x^2 - 3\) является возрастающей на интервале \((0, +\infty)\), то есть от положительного бесконечности до нуля и от нуля до положительного бесконечности. На интервале \((- \infty, 0)\) она будет убывать.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы определяем интервал возрастания функции. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.