Найдите первообразную функции f(x)=3/4√х+х, проходящую через точку А(4;13

Luna_V_Ocheredi

3

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. В первую очередь, нам нужно найти первообразную функции \(f(x)\). Первообразная это функция, производная которой равна исходной функции \(f(x)\).
2. Разделим данную функцию на два слагаемых: \( f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x} + x \)
3. Для каждого слагаемого найдем его первообразную:
- Для первого слагаемого \( \frac{3}{4}\sqrt{x} \) воспользуемся формулой для первообразной степенной функции:
\[ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \]
Здесь \( n \) - степень функции \( x \), \( C \) - постоянная интегрирования.
Применяя эту формулу, получим:
\[ \frac{3}{4} \int \sqrt{x} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C_1 = \frac{1}{2} \sqrt{x^3} + C_1 \]
- Для второго слагаемого \( x \) воспользуемся формулой для первообразной линейной функции:
\[ \int a x dx = \frac{a}{2} x^2 + C \]
Здесь \( a \) - коэффициент перед \( x \), \( C \) - постоянная интегрирования.
Применяя эту формулу, получим:
\[ \int x dx = \frac{1}{2} x^2 + C_2 \]
4. Теперь сложим найденные первообразные двух слагаемых:
\[ F(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^3} + \frac{1}{2} x^2 + C \]
Здесь \( C = C_1 + C_2 \) - общая постоянная интегрирования.
5. Нам дано, что точка A(4;13) лежит на графике функции \( f(x) \). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению:
\[ F(4) = \frac{1}{2} \sqrt{4^3} + \frac{1}{2} \cdot 4^2 + C = 13 \]
Решаем это уравнение относительно \( C \):
\[ \frac{1}{2} \cdot 8 + 8 + C = 13 \]
\[ 4 + 8 + C = 13 \]
\[ C = 1 \]
6. Итак, общая первообразная функции \( f(x) \) - это:
\[ F(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^3} + \frac{1}{2} x^2 + 1 \]
Подставив значения \( x = 4 \), мы получим:
\[ F(4) = \frac{1}{2} \sqrt{4^3} + \frac{1}{2} \cdot 4^2 + 1 = 6 + 8 + 1 = 15 \]
Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x} + x \), проходящая через точку A(4;13), равна:
\[ F(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^3} + \frac{1}{2} x^2 + 1 \]