Найдите первообразную функции, проходящую через точку М: А) f(x) = 4x^3 + 10x

Звездный_Лис

70

Хорошо, давайте найдем первообразную функции \( f(x) = 4x^3 + 10x \), проходящую через точку \( M \).

Для этого мы будем использовать формулу для нахождения первообразной функции, которая гласит: если у нас имеется функция \( f(x) \), то ее первообразной будет функция \( F(x) \) такая, что \( F"(x) = f(x) \).

В нашем случае, чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 4x^3 + 10x \), нам нужно интегрировать каждый член функции отдельно.

Интегрируем \( 4x^3 \):
\[
\int 4x^3 \, dx = \frac{4}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C_1
\]

Интегрируем \( 10x \):
\[
\int 10x \, dx = 10 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 5x^2 + C_2
\]

где \( C, C_1, C_2 \) - это произвольные константы, которые могут появиться при интегрировании.

Теперь объединяем первообразные и получаем искомую первообразную функции:
\[
F(x) = x^4 + 5x^2 + C_3
\]

где \( C_3 = C_1 + C_2 \) - новая произвольная константа.

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 4x^3 + 10x \), проходящая через точку \( M \), равна
\[
F(x) = x^4 + 5x^2 + C_3
\]
где \( C_3 \) - произвольная константа.