Найдите площадь боковой поверхности кристалла, используя план решения, где кристалл имеет форму октаэдра, который

Тимка

38

Шаг 1: Найдем площадь пирамиды одной из треугольных граней.

Для этого нужно умножить полупериметр основания на апофему.

Полупериметр основания пирамиды можно найти, умножив длину одной стороны основания треугольника на 3:

\[P = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}\]

Апофема - это расстояние от середины основания треугольника до вершины пирамиды. Так как кристалл имеет форму октаэдра, а его основание - правильный треугольник, можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины апофемы.

Так как у нас есть сторона треугольника (6 см) и высота кристалла (14 см), то можно найти апофему следующим образом:

\[a = \sqrt{h^2 - \frac{s^2}{4}} = \sqrt{14^2 - \frac{6^2}{4}} = \sqrt{196 - 9} = \sqrt{187} \text{ см}\]

Теперь, зная полупериметр основания и апофему, можем найти площадь пирамиды:

\[S_1 = P \cdot a = 18 \cdot \sqrt{187} \text{ см}^2\]

Шаг 2: Найдем длину осевой линии октаэдра.

Осевая линия октаэдра соединяет центр основания одной пирамиды с центром основания другой. Так как кристалл состоит из двух пирамид с общим основанием, можно сказать, что осевая линия соединяет середины сторон основания пирамид.

Для нахождения длины осевой линии можно воспользоваться теоремой Пифагора еще раз.

Так как у нас есть сторона основания (6 см), то можем найти длину осевой линии следующим образом:

\[c = 6 \cdot \sqrt{2} \text{ см}\]

Шаг 3: Найдем расстояние от вершины одной пирамиды до центра основания другой пирамиды.

Для этого можно воспользоваться свойством правильного октаэдра - если соединить вершины обеих пирамид, получится равносторонний треугольник, проведенный в плоскости основания.

Так как сторона правильного треугольника равна длине стороны основания одной пирамиды (6 см), то расстояние от вершины пирамиды до центра оказывается равным \(\frac{h}{3}\), где \(h\) - высота кристалла:

\[d = \frac{14}{3} \text{ см}\]

Шаг 4: Найдем апофему, используя найденные значения расстояния.

С помощью расстояния от вершины до центра основания пирамиды \(d\) и длины осевой линии \(c\), можно найти апофему так:

\[a = \sqrt{c^2 - d^2} = \sqrt{(6 \cdot \sqrt{2})^2 - \left(\frac{14}{3}\right)^2} = \sqrt{72 - \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{648 - 196}{9}} = \sqrt{\frac{452}{9}} = \frac{2\sqrt{113}}{3} \text{ см}\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности кристалла, суммируя площади пирамид:

\[S = 2S_1 = 2 \cdot 18 \cdot \sqrt{187} = 36 \cdot \sqrt{187} \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности кристалла равна \(36 \cdot \sqrt{187} \text{ см}^2\).

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и полезным! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам в учебе!