Найдите площадь окружности, вписанной в треугольник, и периметр треугольника, если радиус описанной окружности равен

Leha_3304

13

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Пусть радиус описанной окружности равен \(R\). Заметим, что центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения его медиан, и разделяет медианы в отношении 2:1. Поскольку медианы треугольника делятся центром описанной окружности в отношении 2:1, длина медианы равна \(2R\).

Таким образом, длина каждой из медиан треугольника равна \(2R\). Известно, что медиана треугольника делит его на шесть равных треугольников. Поэтому, в треугольнике, вписанном в окружность, у каждого из его углов равная медиана делит его сторону на \(2R\).

Мы можем разделить треугольник на шесть равносторонних треугольников. Значит, каждый из углов треугольника равен \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Таким образом, мы имеем дело с равносторонним треугольником, в котором все стороны равны. Пусть длина каждой из сторон треугольника равна \(s\).

Так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов, мы можем воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2\). Подставим длину стороны в это уравнение и найдем площадь треугольника.

Площадь треугольника:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2R)^2 \quad \text{(подставляем s = 2R)}\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4R^2\]
\[S = \sqrt{3} \times R^2\]

Теперь давайте найдем периметр треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, они имеют одинаковые стороны. Значит, периметр треугольника равен \(3s\). Подставим длину стороны треугольника и найдем периметр.

Периметр треугольника:
\[P = 3s\]
\[P = 3 \times 2R \quad \text{(подставляем s = 2R)}\]
\[P = 6R\]

Таким образом, площадь вписанной окружности в треугольник равна \(\sqrt{3} \times R^2\), а периметр треугольника равен \(6R\).