Найдите площадь сечения призмы, которое проходит через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней, если

Arbuz

3

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длину диагонали призмы
Для начала, нам нужно найти длину диагонали призмы. Из условия задачи у нас дано, что тангенс угла между диагональю и плоскостью основания равен корню из 3. Мы знаем, что тангенс угла определяется соотношением \(\tan(\theta) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\).

Воспользуемся этим соотношением для нахождения длины диагонали. Пусть \(x\) - длина прилежащего катета, тогда \(\tan(\theta) = \frac{{\sqrt{3}}}{{x}}\).

Чтобы найти \(x\), возведем обе части уравнения в квадрат: \(\tan^2(\theta) = \frac{{3}}{{x^2}}\).

Заметим, что \(\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)\), поскольку \(\sec(\theta) = \frac{1}{{\cos(\theta)}}\) и \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\). Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде: \(\frac{{3}}{{x^2}} + 1 = \sec^2(\theta)\).

Учитывая, что значение \(\sec(\theta)\) равно корню, мы получаем уравнение: \(\frac{{3}}{{x^2}} + 1 = \sqrt{3}\).

Теперь, решим это уравнение относительно \(x\):
\(\frac{{3}}{{x^2}} = \sqrt{3} - 1\)
\(x^2 = \frac{{3}}{{\sqrt{3} - 1}}\)
\(x^2 = \frac{{3(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}\)
\(x = \sqrt{\frac{{3(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}}\)

Таким образом, длина прилежащего катета равна \(x = \sqrt{\frac{{3(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}}\).

Шаг 2: Найдем длину параллельной диагонали
Теперь нам нужно найти длину параллельной диагонали. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Пусть \(a\) - длина стороны основания призмы, тогда длина диагонали основания будет равна \(2a\), поскольку основание призмы - четырехугольное.

Теперь, мы можем найти длину параллельной диагонали, используя теорему Пифагора:
\(d = \sqrt{(2a)^2 + x^2}\)
\(d = \sqrt{(2 \cdot 2\sqrt{3})^2 + \left(\sqrt{\frac{{3(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}}\right)^2}\)
\(d = \sqrt{16 \cdot 3 + \frac{{3(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}}\)
\(d = \sqrt{\frac{{48 + 6(\sqrt{3} + 1)}}{{2}}}\)
\(d = \sqrt{\frac{{48 + 6\sqrt{3} + 6}}{{2}}}\)
\(d = \sqrt{\frac{{54 + 6\sqrt{3}}}{{2}}}\)
\(d = \sqrt{\frac{{6(9 + \sqrt{3})}}{{2}}}\)
\(d = \sqrt{3(9 + \sqrt{3})}\)

Шаг 3: Найдем площадь сечения призмы
Наконец, мы можем найти площадь сечения призмы. Площадь сечения призмы равна произведению длин диагоналей параллелограмма (основания призмы).

Подставим значения в формулу и рассчитаем площадь:
\(S = a \cdot d\)
\(S = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3(9 + \sqrt{3})}\)
\(S = 2\sqrt{9 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3(9 + \sqrt{3})}\)
\(S = \sqrt{6(9 + \sqrt{3})} \cdot \sqrt{3(9 + \sqrt{3})}\)
\(S = \sqrt{6(9 + \sqrt{3})(9 + \sqrt{3})}\)
\(S = \sqrt{6(81 + 18\sqrt{3} + 3)}\)
\(S = \sqrt{6(84 + 18\sqrt{3})}\)
\(S = \sqrt{6} \cdot \sqrt{84 + 18\sqrt{3}}\)

Таким образом, мы получаем, что площадь сечения призмы, проходящего через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней, равна \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{84 + 18\sqrt{3}}\).