Найдите площадь сферы, описанной около большого конуса, если разность высот между двумя конусами равна 12√3, а углы

Мурзик_9197

56

Чтобы найти площадь сферы, описанной около большого конуса, мы сначала должны вычислить радиус этой сферы. Затем, используя найденное значение радиуса, мы сможем найти площадь сферы с помощью соответствующей формулы.

Для начала, рассмотрим геометрическую конструкцию, состоящую из большого конуса и описанной около него сферы. Предположим, что у нас есть два конуса с общей вершиной, но с разными высотами: малый конус и большой конус.

Дано, что разность высот между двумя конусами равна 12√3. Обозначим через \(h_1\) высоту малого конуса, а через \(h_2\) высоту большого конуса. Тогда условие задачи можно записать как:

\[h_2 - h_1 = 12\sqrt{3}\]

Далее, нам дано, что углы между образующими и высотой конуса равны 300 и 600 соответственно. Для большого конуса угол между его образующей и высотой равен 300 градусам. Обозначим через \(r\) радиус описанной около большого конуса сферы.

Для того чтобы приступить к решению, нам понадобится некоторая тригонометрия. Но вначале, выразим радиус \(r\) через известные нам величины.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного радиусом сферы, образующей большого конуса и высотой бошлого конуса. Для этого треугольника верно следующее уравнение:

\[r^2 = h_2^2 + r^2 - 2(h_2)(r)\cos(300^{\circ})\]

Так как \(\cos(300^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\), заменим значения в уравнении:

\[r^2 = h_2^2 + r^2 - 2(h_2)(r)\left(\frac{1}{2}\right)\]

Сократим и упростим уравнение:

\[r^2 = h_2^2 + r^2 - (h_2)(r)\]

\[0 = h_2^2 - (h_2)(r)\]

Теперь воспользуемся известным фактом о разности высот и преобразуем уравнение:

\[0 = h_1^2 - (h_1 + 12\sqrt{3})(r)\]

\[0 = h_1^2 - (h_1)(r) - 12\sqrt{3}(r)\]

\[0 = h_1^2 - h_1r - 12\sqrt{3}r\]

Далее, сравним это уравнение с предыдущим уравнением для \(r^2\). Мы замечаем, что у нас есть одна неизвестная величина (\(r\)), которая присутствует в обоих уравнениях. Это значит, что мы можем сложить два уравнения и получить уравнение с одной неизвестной:

\[r^2 + 0 = h_2^2 - (h_2)(r) + h_1^2 - (h_1)(r) - 12\sqrt{3}(r)\]

\[r^2 = h_2^2 - (h_2)(r) + h_1^2 - (h_1)(r) - 12\sqrt{3}(r)\]

\[r^2 = h_2^2 + h_1^2 - (h_2 + h_1)(r) - 12\sqrt{3}(r)\]

\[r^2 = h_2^2 + h_1^2 - (h_2 + h_1 + 12\sqrt{3})(r)\]

Теперь, заметим, что в прямоугольных треугольниках \(h_2\), \(h_1\) и \(12\sqrt{3}\), присоединенных к вершине конуса, углы между горизонталью и высотой (вертикалью) являются взаимно дополнительными углами (углы, сумма которых равна 90 градусам).

\[h_2 = 12\sqrt{3}\sin(30^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}\]

\[h_1 = 12\sqrt{3}\sin(60^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\]

Подставим эти значения в уравнение:

\[r^2 = (3\sqrt{3})^2 + 9^2 - (3\sqrt{3} + 9 + 12\sqrt{3})(r)\]

\[r^2 = 9 + 81 - (15\sqrt{3})(r)\]

\[r^2 = 90 - (15\sqrt{3})(r)\]

Теперь, у нас есть квадратное уравнение, которое можем решить относительно \(r\). Для этого, преобразуем его:

\[(15\sqrt{3})r + r^2 = 90\]

\[r^2 + (15\sqrt{3})r - 90 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можем решить с помощью дискриминанта:

\[D = (15\sqrt{3})^2 - 4(1)(-90) = 675 - (-360) = 1035\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня \(r_1\) и \(r_2\):

\[r_1 = \frac{-(15\sqrt{3}) + \sqrt{1035}}{2} \approx -0.462\]

\[r_2 = \frac{-(15\sqrt{3}) - \sqrt{1035}}{2} \approx -22.038\]

Поскольку радиус сферы не может быть отрицательным, мы должны выбрать положительное значение.

Таким образом, радиус описанной около большого конуса сферы примерно равен \(r_2 \approx 22.038\).

Итак, чтобы найти площадь сферы, мы воспользуемся формулой:

\[S = 4\pi r^2\]

Подставив значение \(r\), получим:

\[S = 4\pi (22.038)^2 \approx 6074.856 \, \text{квадратных единиц}\]

Таким образом, площадь сферы, описанной около большого конуса, примерно равна 6074.856 квадратных единиц.