Найдите площадь треугольника в трапеции ABCD, если известно, что AD=15, BC=8, и площадь трапеции равна

Dobryy_Drakon_9979

8

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово и подробно для лучшего понимания.

1. Дано: Длины оснований трапеции ABCD - AD и BC, равные 15 и 8 соответственно.
2. Задача: Найти площадь треугольника внутри трапеции.

Для начала нам понадобится вычислить высоту треугольника. Для этого воспользуемся формулой площади трапеции:

\[ S_{\text{трапеции}} = \frac{(a + b)h}{2} \]

где a и b - длины оснований трапеции, а h - ее высота.

Мы знаем, что площадь трапеции - это произведение высоты на среднюю длину оснований:

\[ S_{\text{трапеции}} = \frac{(a + b)h}{2} \]

Заметим, что одно из оснований трапеции - это основание треугольника. Пусть AD - основание треугольника. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{ADh}{2} \]

Учитывая, что площадь треугольника внутри трапеции - это половина площади треугольника ADH, получаем:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{S_{\text{трапеции}}}{2} \]

Теперь мы можем выразить высоту треугольника через данные из условия задачи:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{S_{\text{трапеции}}}{2} = \frac{(AD + BC)h}{4} \]

Подставляя значения из условия (AD = 15, BC = 8), получаем:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{(15 + 8)h}{4} \]

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{23h}{4} \]

Теперь у нас остается только найти значение высоты h. Для этого воспользуемся формулой площади трапеции:

\[ S_{\text{трапеции}} = \frac{(AD + BC)h}{2} \]

Подставляем известные значения из условия:

\[ S_{\text{трапеции}} = \frac{(15 + 8)h}{2} \]

\[ S_{\text{трапеции}} = \frac{23h}{2} \]

Теперь мы можем найти значение высоты h:

\[ \frac{23h}{2} = S_{\text{трапеции}} \]

\[ h = \frac{2S_{\text{трапеции}}}{23} \]

Итак, мы нашли значение высоты треугольника внутри трапеции. Теперь можем найти площадь этого треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{23h}{4} = \frac{23}{4} \cdot \frac{2S_{\text{трапеции}}}{23} \]

Сокращая выражение, получаем:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{S_{\text{трапеции}}}{2} \]

Окончательно, площадь треугольника равна половине площади трапеции:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{S_{\text{трапеции}}}{2} \]

Итак, мы получили формулу для вычисления площади треугольника внутри заданной трапеции.