Какой объем тела получится при вращении треугольника ABC вокруг оси ординат в системе координат, если заданы точки

Оса

12

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг оси ординат, мы можем использовать интегральный метод. Перед тем как начать, давайте взглянем на треугольник и понимание его формы.

Треугольник ABC задан координатами его вершин: A(1;3,2), B(7;3,2), C(1;6,2). Исходя из заданных координат, мы можем увидеть, что треугольник лежит в плоскости XY. Давайте нарисуем его, чтобы иметь представление об его форме.

\[A(1;3,2)\]
\[B(7;3,2)\]
\[C(1;6,2)\]

Теперь, чтобы получить объем тела, сформированного вращением этого треугольника вокруг оси ординат, мы будем использовать метод цилиндрических оболочек. Мы будем разделять треугольник на бесконечно малые полоски, вращающиеся вокруг оси ординат и затем интегрировать объем каждой полоски.

Для начала, давайте найдем длину каждой полоски. Поскольку каждая полоска представляет собой разность между функциями \(y_{\text{верхняя}}\) и \(y_{\text{нижняя}}\) на некотором интервале, нам нужно найти уравнения этих двух функций.

Уравнение прямой через точки A и B:
Уравнение прямой \(AB\) можно найти, используя координаты его двух вершин \(A(1;3,2)\) и \(B(7;3,2)\). Рассмотрим уравнение прямой \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, \(c\) - свободный член. Чтобы найти наклон \(m\), используем формулу:

\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставив координаты вершин:

\[m = \frac{{3,2-3,2}}{{7-1}} = 0\]

Так как \(m = 0\), уравнение прямой будет выглядеть как \(y = c\). Чтобы найти свободный член \(c\), подставим \(x\) и \(y\) одной из вершин треугольника, скажем, вершины \(A(1;3,2)\):

\[3,2 = c\]

Таким образом, уравнение прямой \(AB\) будет выглядеть как \(y = 3,2\).

Уравнение верхней и нижней границ полосы:
Теперь, чтобы найти уравнение верхней и нижней границ полосы, мы должны найти уравнения прямых, проходящих через точки A и C соответственно.
Уравнение прямой через точки A и C:
Уравнение прямой \(AC\) можно найти, используя координаты его двух вершин \(A(1;3,2)\) и \(C(1;6,2)\). Рассмотрим уравнение прямой \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, \(c\) - свободный член. Чтобы найти наклон \(m\), используем формулу:

\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставив координаты вершин:

\[m = \frac{{6,2-3,2}}{{1-1}} = \frac{3}{{0}}\]

Здесь мы видим, что наклон \(m\) является неопределенностью. Это означает, что прямая параллельна оси ординат. Учитывая, что прямая проходит через точку \(A(1;3,2)\), уравнение прямой \(AC\) будет иметь вид \(x = 1\).

Теперь мы знаем уравнения всех границ полосы, и мы готовы перейти к вычислению объема тела, используя метод цилиндрических оболочек.

Объем тела:
Объем каждой полосы вычисляется как разность между площадью верхней полусферической части и площадью нижней полусферической части. Площадь полусферы радиуса \(r\) можно вычислить, используя формулу:

\[S = \frac{{2\pi r^2}}{2} = \pi r^2\]

где \(r\) - радиус полусферы.

Для нашей задачи, радиус полусферы \(r\) равен разности значений функций верхней границы и нижней границы полосы для каждого конкретного значения \(x\), то есть \(r = y_{\text{верхняя}} - y_{\text{нижняя}}\).

Теперь мы можем вычислить объем тела, используя интеграл:

\[V = \int_{a}^{b} \pi r^2 \,dx\]

где \(a\) и \(b\) - значения \(x\) наших точек A и C соответственно.

Так как уравнение прямой \(AB\) - \(y = 3,2\) и уравнение прямой \(AC\) - \(x = 1\), мы можем найти значения \(a\) и \(b\), находя пересечение этих двух функций:

\[3,2 = 1\]

Таким образом, \(a\) и \(b\) равны 1.

Теперь мы можем перейти к вычислению объёма. Подставляя значение радиуса \(r = y_{\text{верхняя}} - y_{\text{нижняя}}\), имеем:

\[V = \int_{1}^{1} \pi (y_{\text{верхняя}} - y_{\text{нижняя}})^2 \,dx\]

Поскольку \(a = b = 1\), верхний и нижний пределы интегрирования равны, это означает, что наше тело не имеет объема. Полученный результат говорит о том, что треугольник полностью находится в плоскости XY, и его вращение вокруг оси ординат никак не изменит его объема.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг оси ординат, равен нулю.